Matemáticas aplicadas

La solución y n
ca n de la ecuación en diferencias y n
ay n1
es una sucesión
con crecimiento exponencial si a 1 y es una sucesión con decaimiento exponencial
si 0 a 1. Observe que la solución general de la ecuación en diferencias
incluye una constante arbitraria c. Con la finalidad de determinar el valor de esta
constante se requiere un poco más de información; a saber, el valor de un término
de la sucesión. En la práctica, por lo común el término inicial es uno que está dado.
Encontraremos esta característica repetida para otras ecuaciones en diferencias de
primer orden: la solución general incluye una constante arbitraria y se necesita información
adicional para determinar esa constante.
EJEMPLO 7 Encuentre la solución de la ecuación en diferencias
y n1
0.5y n
para la cual y 5
2
Solución Podemos utilizar el teorema 1 con a 0.5. La solución general es
y n
c(0.5) n
☛ 24. Determine la solución de
y n
5y n1
, y 2
3
en donde c y p
a p y 5
(0.5) 5 2(0.5) 5 2 6 . Así, sustituyendo este valor
de c obtenemos
y n
2 6 ( 1 2 )n (1) n1 2 6n ☛ 24
El siguiente teorema trata con una ecuación en diferencias que desempeña un
papel fundamental en gran parte de las matemáticas financieras, como veremos en
ejemplos posteriores.
TEOREMA 2 La solución general de la ecuación en diferencias
y n
ay n1
b
en donde a y b son constantes dadas (con a 1), es
b
y n
ca n
a 1
en donde c es una constante arbitraria. El valor de c está determinado si se conoce
un elemento de la sucesión. Si se conoce y p
, entonces,
Respuesta y n
3 · (5) n2
c a p y p b
a 1
b
En particular, si se conoce y 0
, entonces c y 0
a 1
DEMOSTRACIÓN Defínase
b a 1
z n
y n
296 CAPÍTULO 7 PROGRESIONES Y MATEMÁTICAS FINANCIERAS