Matemáticas aplicadas

TEOREMA 2
a) n
k1
b) n
k1
c) n
k1
k 1 2 3 n n(n 1)
2
k 2 1 2 2 2 3 2 n 2 n(n 1) (2n 1)
6
k 3 1 3 2 3 3 3 n 3 n(n 1) 2
2
DEMOSTRACIÓN
a) n
k1
k 1 2 3 (n 1) n
Los términos de esta suma forman una progresión aritmética, en la cual hay n términos;
el primer término es igual a 1 y la diferencia común también es igual a l. Por
la fórmula de la página 270, la suma está dada por
Por tanto,
o bien,
n
k S n
n [2 1 (n 1) 1]
k1 2
n
k1
k n(n 1)
2
b) Para probar b) utilizaremos el siguiente resultado:
k 3 (k 1) 3 k 3 (k 3 3k 2 3k 1)
k 3 (k 1) 3 3k 2 3k 1
Ésta es una identidad que es cierta para todo valor de k. Haciendo k 1, 2, 3, . . . ,
n, obtenemos la siguiente sucesión de ecuaciones:
1 3 0 3 3 1 2 3 1 1
2 3 1 3 3 2 2 3 2 1
3 3 2 3 3 3 2 3 3 1
.
n 3 (n 1) 3 3 n 2 3 n 1
Si sumamos todas estas ecuaciones verticalmente, observamos que muchos de los
términos de la izquierda se cancelan y nos quedamos con
n 3 0 3 3(1 2 2 2 3 2 n 2 ) 3(1 2 3 n)
(1 1 1)
n términos
SECCIÓN 7-5 NOTACIÓN DE SUMATORIA (SECCIÓN OPCIONAL) 309