Matemáticas aplicadas

☛ 10. Vuelva a resolver el ejemplo
3, si la tasa de depreciación es
10% anual.
Haciendo n igual a 1, 2, 3, . . , obtenemos los valores de la tabla 1. En consecuencia,
observamos que después de 5 años el valor de la máquina es un poco más
grande que el valor de desecho de $3000, pero después de 6 años, su valor está por
debajo del valor de desecho. La vida útil de la máquina es de 6 años. ☛ 10
TABLA 1
n 1
T n 8000
2
6400
3 4 5 6
5120
4096 3276.8 2621.44
Iniciamos esta sección con un ejemplo de interés compuesto. El caso general
de una inversión que crece a interés compuesto se expuso al final de la sección 6-1.
Si una suma P se invierte a una tasa de interés del R por ciento anual compuesto
anualmente, el valor de la inversión al término del n-ésimo año está dada por la
fórmula
T n
P(1 i) n ,
R
i
10 0k
Estos valores para n 1, 2, 3,... forman una PG. La razón común es r 1 i y
el primer término es a T 1
P(1 i).
En la siguiente sección se darán aplicaciones adicionales relacionadas con
esto.
TEOREMA 1 (SUMA DE n TÉRMINOS DE UNA PG) Si a es el primer término
y r la razón común de una PG, entonces, la suma S n
de n términos de la PG está
dada por
S n
a( 1 r n )
(2)
1 r
DEMOSTRACIÓN Los n términos de la PG dada son
Por tanto, la suma de estos términos es
Multiplicamos ambos lados por r.
a, ar, ar 2 , ..., ar n2 , ar n1
S n
a ar ar 2 ar n2 ar n1
rS n
ar ar 2 ar n1 ar n
Sumando estas dos ecuaciones, advertimos que todos los términos se cancelan excepto
el primer término de la primera ecuación y el último de la segunda, lo que da
Respuesta El valor después de n
años T n
10,000
9
n
1 0 . Tn es
menor que $3000 después de 12
años.
S n
rS n
a ar n
Factorizamos y despejamos S n
S n
(1 r) a(1 r n )
276 CAPÍTULO 7 PROGRESIONES Y MATEMÁTICAS FINANCIERAS