Matemáticas aplicadas

☛ 13. Escriba la matriz aumentada
para el sistema
2x 3y 4, 3x 5y 13.
Obtenga el resultado de las operaciones
por renglón 1 R 2 1
, seguida por
R 2
3R 1
. Dé las restantes operaciones
que completan la reducción.
Restamos tres veces la segunda
ecuación de la primera:
0x 0y 2
0x 0y 1
Restamos tres veces el segundo
renglón del primero:
La solución es, por tanto, x 2 y y 1. Observe que los valores de x y y están dados
por los elementos de la última columna de la matriz aumentada final.
La última matriz aumentada de la cual leemos la solución es de la forma IC,
en donde I es la matriz identidad y C es cierto vector columna. Así, a fin de obtener
la solución de un sistema dado AX B, escribimos en primer término la matriz aumentada
AB y usamos las operaciones entre renglones para cambiarla a la formal
IC. Esto no siempre es posible;* sin embargo, si lo logramos, la solución de las
variables está dada en los elementos de la última columna C. La forma final de la
matriz IC que da las soluciones a un sistema se llama la matriz reducida. Este método
de resolución de sistemas lineales se denomina el método de reducción de
renglones.
Antes de explicar cómo seleccionar el orden de las operaciones entre renglones
con la finalidad de obtener la matriz reducida a partir de la matriz aumentada
original, presentamos alguna notación para evitar repetir largas expresiones. Usaremos
el símbolo R p
para el p-ésimo renglón de la matriz aumentada. Por ello, R 1
denota al primer renglón, R 2
al segundo, etc. Cuando decimos “aplique R 2
2R 1
”,
esto significa “restar dos veces el primer renglón del segundo renglón”, mientras
que la operación R 3
4R 2
consiste en sumar cuatro veces el segundo renglón al tercero
y R 2
R 3
significa sumar el tercer renglón al segundo (no el segundo renglón
al tercero). De manera similar, la operación 2R 3
significa multiplicar el tercer renglón
de la matriz aumentada por 2 y 1 R 2 1
significa multiplicar el primer renglón por
1 . 2 Por último, la notación R 1 ↔ R 3
significa la operación de intercambiar el primero
y tercero renglones. Usaremos la notación siguiente.
1 0 2
0 1 1
matriz A
R 1
2R ⎯→
2
matriz B
la cual significa que la matriz B se obtiene aplicando la operación R 1
2R 2
(esto
es, la sustracción de dos veces el segundo renglón del primer renglón) sobre la matriz
A. ☛ 13
Estamos ahora en posición de explicar en detalle el método de reducción de
renglones. Lo haremos por medio de un ejemplo.
EJEMPLO 2 Use el método de reducción de renglones para resolver el siguiente
sistema de ecuaciones lineales.
Respuesta
2 3 4
3 5 13
1
3 1
3 2
⎯→
2
2 2
3 5 13
R2 3R 1
→
1 2 R 1
0 1 2 9
19
2x 3y 4z 13
2x 2y 2z 4
3x 5y 2z 4
2
19 R 2
seguida por R 1
3 2 R . La 2
solución es x 1, y 2
* Véase la sección 8.4.
SECCIÓN 8-3 SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES POR REDUCCIÓN DE RENGLONES 337