Matemáticas aplicadas

EJEMPLO 4 (Ingreso marginal) Determine el ingreso marginal cuando x 300
si la ecuación de demanda es
x 1000 100p
Solución En primer término, debemos escribir la ecuación de demanda en tal forma
que expresamos p como una función de x.
Así, la función de ingreso está dada por
100p 1000 x
p 10 0.01x
R(x) xp x(10 0.01x) 10x 0.01x 2
Observemos que esta función de ingreso es la misma que la del ejemplo anterior, de
modo que podemos usar el resultado del ingreso marginal:
R(x) 10 0.02x
Cuando el volumen de ventas es 300, el ingreso marginal está dado por
R(300) 10 (0.02)(300) 10 6 4
☛ 20. Calcule el ingreso
marginal para la ecuación de
demanda p 4 x. Si la
función de costo es C(x) 1 x,
determine el costo marginal y la
utilidad marginal. Evalúe R′(4),
P′(4), R′(6) y P′(6)
La utilidad que una empresa obtiene está dada por la diferencia entre sus ingresos
y sus costos. Si la función de ingreso es R(x) cuando se venden x artículos, y
si la función de costo es C(x) al producirse esos mismos x artículos, entonces la utilidad
P(x) obtenida por producir y vender x artículos está dada por
P(x) R(x) C(x)
La derivada P(x) se denomina la utilidad marginal. Representa la utilidad
adicional por artículo si la producción sufre un pequeño incremento. ☛ 20
EJEMPLO 5 (Utilidad marginal) La ecuación de demanda de cierto artículo es
y la función de costo es
p 0.1x 80
C(x) 5000 20x
Calcule la utilidad marginal cuando se producen y venden 150 unidades y también
en el caso de que se produzcan y vendan 400 unidades.
Respuesta
R′(x) 4 3 x, C ′(x) 1,
2
P′(x) 3 3 x. R′(4) 1,
2
P′(4) 0, R′(6) 4 3 2 6
0.33, P′(6) 3 3 6 0.67
2
Solución La función de ingreso está dada por
R(x) xp x(80 0.1x) 80x 0.1x 2
Por consiguiente, la utilidad generada por la producción y venta de x artículos está
dada por
P(x) R(x) C(x)
(80x 0.1x 2 ) (5000 20x)
60x 01x 2 5000
478 CAPÍTULO 11 LA DERIVADA