Matemáticas aplicadas

Se sigue que
2x 3 dx u 1 2 du 1 2
u1/2 du
1 2 2 3 u3/2 C 1 3 (2x 3)3/2 C
El ejemplo 5 es uno de un tipo especial de sustitución denominada sustitución
lineal. En el teorema 1 elegimos u ax b, en donde a y b son constantes (a
0). Esto es, g(x) ax b y g′(x) a. Entonces, el enunciado del teorema se
transforma en
f(ax b) a dx F(ax b) C 1
Dividiendo todo entre a y denotando C 1
/a C, tenemos el siguiente
TEOREMA 2
Si f(x) dx F(x) C entonces f(ax b) dx 1 F(ax b) C
a
en donde a y b son dos constantes cualesquiera (a 0). En otras palabras, para
integrar f(ax b), manejamos (ax b) como si fuera una sola variable, y después
dividimos la integral resultante entre a, el coeficiente de x.
El teorema 2 es una poderosa herramienta y puede generalizar cada integral
de la tabla 1 (véase la sección 15-1) reemplazando x por ax b (a 0). Esto nos
conduce a los tipos de integrales listados en la tabla 2.
TABLA 2
x
1. x n n1
dx C (n 1) 1. n
(ax b) n dx 1 1
a (ax b)
n1
C
n 1
(a 0, n 1)
1
ax b
2. 1 x dx ln⏐x⏐ C 2. dx 1 a
3. e x dx e x C 3. e axb dx ea a
xb
ln⏐ax b⏐ C (a 0)
C (a 0)
EJEMPLO 6 Evalúe (3x 7) 5 dx
Solución Por el primer resultado general de la tabla 2,
(ax b) n dx
(ax b) n1
a(n 1)
C
SECCIÓN 15-2 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN 633