Matemáticas aplicadas

Rendimiento marginal
Suponga que un inversionista se enfrenta con el problema de saber cuánto capital
debe invertir en un negocio o en una empresa financiera. Si se invierte una cantidad
S, el inversionista obtendrá cierto rendimiento en la forma de ingresos de, digamos,
Y dólares por año. En general, el rendimiento Y será una función del capital S invertido:
Y f(S). En un caso característico, si S es pequeña, el rendimiento también
será pequeño o aun cero, puesto que la empresa no dispondrá del capital suficiente
para operar con eficiencia. A medida que S aumenta, la eficiencia de operación mejora
y el rendimiento crece rápidamente. Sin embargo, cuando S se hace muy grande,
la eficiencia puede deteriorarse otra vez si los demás recursos necesarios para la
operación, tales como la mano de obra e insumos, no pueden crecer lo suficiente
para mantener el ritmo del capital extra. En consecuencia, en el caso de grandes capitales
S, el rendimiento Y puede descender de nuevo a medida que S continúa su
crecimiento.
La rendimiento marginal se define como la derivada dY/dS. Se obtiene como
el valor límite de Y/S y representa el rendimiento por dólar adicional invertido
cuando se realiza un pequeño incremento en el capital.
Tasa de impuesto marginal
Sea T la cantidad de impuestos pagados por un individuo o por una corporación
cuando el ingreso es I. Así, podemos escribir T f(I). Si todas las demás variables
permanecen fijas, un incremento I en I provoca un aumento en T dado por T
f(I I) f(I). La razón T/I representa la fracción del incremento del ingreso
que se pierde en forma de impuestos. Si hacemos que I tienda a cero, esta razón
se aproxima a la derivada dT/dI, la cual se denomina la tasa marginal de impuestos.
Representa la proporción de un incremento infinitamente pequeño en el ingreso que
debe pagarse en forma de impuesto.
La tasa marginal de impuestos está determinada por las escalas graduadas de
impuestos. Los individuos con ingreso muy bajos no pagan impuestos, y por debajo
de cierto nivel de ingreso la tasa marginal es cero. A medida que el ingreso aumenta,
la tasa de impuestos marginal aumenta hasta que alcanza un nivel máximo
igual a la proporción máxima que puede pagarse de acuerdo con la escala. (Véase
ejemplo 8 de la sección 11-6).
Tendencias marginales a ahorrar y a consumir
Sea I el ingreso total (producto nacional bruto) de una nación. Cada individuo de la
población que recibe parte de este ingreso toma una decisión con el propósito de
gastar parte de su ingreso en bienes consumibles o servicios y ahorrar el resto. Sea
C la cantidad total gastada por la población en artículos consumibles y S la cantidad
total de los ahorros. Se sigue que S C I.
En general, la cantidad ahorrada está determinada por el ingreso nacional, y
podemos escribir S f(I). La cantidad consumida está dada entonces por C I
f(I).
Si el ingreso nacional recibe un incremento I, los ahorros y el consumo también
sufren incrementos S y C, respectivamente, en donde
S C I y S f(I I) f(1)
480 CAPÍTULO 11 LA DERIVADA