Matemáticas aplicadas

El n-ésimo término está dado por la fórmula
T n
a (n 1)d (3)
Por ejemplo, haciendo n 1, 2 y 3, encontramos que
T 1
a (1 1)d a
n
T 2
a (2 1)d a d
n
T 3
a (3 1)d a 2d
n
De manera similar, se pueden obtener otros valores.
La ecuación (3) contiene cuatro parámetros, a, d, n y T n
. Si se dan cualesquiera
tres de ellos, podemos calcular el cuarto.
EJEMPLO 1 Dada la sucesión
1,5,9,13,...
calcule: a) el décimo quinto término; b) el n-ésimo término.
Solución La sucesión dada es una PA porque
5 1 9 5 13 9 4
En consecuencia, la diferencia común, d, es 4. También, a l.
a) Usando la ecuación (3) con n 15,
☛ 2. Para la PA –3, 0.5, 2, ...,
determine una fórmula para el
n-ésimo término y calcule
el término 11°.
T 15
a (15 1)d a 14d 1 (14)(4) 57
n
b) T n
a (n 1)d 1 (n 1)4 4n 3
Por tanto, el quinceavo término es 57 y el n-ésimo término es 4n 3. ☛ 2
EJEMPLO 2 (Depreciación) Una empresa instala una máquina con un costo de
$1700. El valor de la máquina se deprecia anualmente en $150. Determine una
expresión para el valor de la máquina después de n años. Si el valor de desecho es
de $200. ¿Cuál es el tiempo de vida útil de la máquina
Solución Ya que el valor de la máquina se deprecia $150 cada año, su valor al término
del primer año, el segundo, el tercero, etc., será
o bien,
1700150, 17002(150), 17003(150), . . .
1550, 1400, 1250, . . .
Respuesta T n
2.5n – 5.5;
T 11
22
Esta sucesión de valores forma una PA con primer término a 1550 y diferencia
común d 1400 1550 150. En consecuencia, el n-ésimo término es
T n
a (n 1)d 1550 (n 1)(150) 1700 150n
SECCIÓN 7-1 PROGRESIONES ARITMÉTICAS E INTERÉS SIMPLE 267