Matemáticas aplicadas

del punto sobre la curva que corresponde a la abscisa n 2. En esta forma, advertimos
que el valor de (1.1) n puede definirse para todos los valores reales de n,
tanto racionales como irracionales.
En una forma semejante, podemos definir la función y a x para cualquier
número positivo real. Primero el valor de y a x está definido para todos los valores
racionales de x por medio del uso de potencias y raíces. Cuando se ubican en una
gráfica, se determina que todos esos puntos (x, y) se encuentran en una curva suave.
Entonces esta curva puede utilizarse para definir el valor de a x cuando x es un número
irracional, simplemente leyendo la ordenada del punto de la gráfica en la que
x tiene el valor irracional dado.
EJEMPLO 1 Construya las gráficas de cada función.
a) y 2 x b) y 1 3 x c) y 3 x
Solución La tabla 3 da valores de estas tres funciones para una selección de valores
de x.
TABLA 3
x 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 3
y 2 x 0.25 0.354 0.5 0.707 1 1.414 2 2.828 4 8
y ( 1 3 )x 9 5.196 3 1.732 1 0.577 0.333 0.192 0.111 0.037
y 3 x 0.111 0.192 0.333 0.577 1 1.732 3 5.196 9 27
Por ejemplo, cuando x 0.5,
1
2 x 2 1/2 1
0.707
2 1.414
hasta tres cifras decimales, y
☛ 10. ¿Cómo pueden obtenerse
las gráficas de a) y 3 x
b) y 2 x y c) 2 x1 a partir
de las gráficas de la figura 2
1 3 x 1 3 1/2 3 1/2 3 1.732
Cuando graficamos, se obtienen los puntos indicados en la figura 2, y éstos pueden
unirse por las curvas suaves que se advierten en tal figura. ☛ 10
Respuesta a) 3 x ( 1 3 )x de modo
que la gráfica ya está dada en la
figura 2;
b) Reflejando la gráfica de 2 x
con respecto al eje y, obtenemos
la gráfica de 2 x ;
c) 2 x1 2 2 x de modo que la
gráfica puede obtenerse a partir de
la gráfica de 2 x multiplicando cada
ordenada y por 2 (o moviendo la
gráfica 1 unidad hacia la
izquierda).
Una función del tipo y a x (a 0, a 1) se denomina una función exponencial.
Cuando a 1, la función se conoce como una función exponencial creciente,
mientras que si a 1, se llama una función exponencial decreciente.
Las gráficas obtenidas en el ejemplo 1 son características de las funciones exponenciales.
La figura 3 ilustra las gráficas de dos funciones, y a x y y b x , con
a b 1. Se advierte que si x 0, estas dos funciones crecen a una tasa cada vez
mayor a medida que x se incrementa. Puesto que a b, la gráfica de y a x para
valores positivos de x está por encima de la gráfica de y b x y crece de manera más
pronunciada.
Por otra parte, cuando x 0, ambas funciones decrecen hacia cero a medida
que x se hace más y más negativa. En este caso, la función a x cae de manera más
232 CAPÍTULO 6 LOGARITMOS Y EXPONENCIALES