Matemáticas aplicadas

y D 1, la función cúbica en el ejemplo 4 se transforma en y 0x 3 2x 2 3x
1 2x 2 3x 1, que se analizó en el ejemplo 2. De la ecuación (1),
d y
3Ax 2 2Bx C 3(0)x 2 2(2)x 3 4x 3
dx
lo cual coincide con el resultado del ejemplo 2.
Interpretación geométrica
Ya hemos visto que cuando la variable independiente de una función y f(t) representa
el tiempo, la derivada dy/dt da la tasa de cambio instantánea de y. Por ejemplo,
si s f(t) representa la distancia recorrida por un móvil, ds/dt da la velocidad
instantánea. Aparte de esta clase de aplicación de la derivada, sin embargo, también
tiene una interpretación desde el punto de vista geométrico.
Si P y Q son los dos puntos (x, f(x)) y (x x, f(x x)) sobre la gráfica
de y f(x), entonces, como se estableció en la sección 11-1, la razón
y
f(x x) f(x)
x
x
representa la pendiente del segmento rectilíneo PQ. A medida que x se hace cada
vez más pequeño, el punto Q se aproxima cada vez más a P y el segmento secante
PQ está cada vez más cerca de ser tangente. Cuando x → 0, la pendiente de la secante
PQ se aproxima a la pendiente de la línea tangente en P. Así que
lím y
d
y
x→0 x
dx
representa la pendiente de la línea tangente a y f(x) en el punto P(x, f(x)). (Véase
la figura 6). Con tal de que la curva y f(x) sea “suave” en P; esto es, si podemos
dibujar una tangente que no sea vertical en P, el límite existirá.
y
y = f (x)
f (x x)
Q
f (x)
P
x
y
Tangente
en P
0 x x x x
FIGURA 6
464 CAPÍTULO 11 LA DERIVADA