Matemáticas aplicadas

Pero,
Costo unitario de la mano de obra
Costo unitario del capital
100
300
1
3
Así que en el nivel de producción máximo, la razón de las productividades marginales
de mano de obra y capital es igual a la razón de las unidades de costo de la
mano de obra y de capital.
c) En el nivel de producción máximo, cuando L 300 y K 50, tenemos
dos formas de calcular (de las ecuaciones (5)):
1 3 (300)1/3 (50) 1/3 0.1835
1
1
8 (300)2/3 (50) 2/3 0.1835
Suponga que podemos emplear L unidades de mano de obra y K unidades de capital
con $1 extra de disponibilidad. Entonces,
100L 300K 1 (7)
El aumento en la producción cuando la mano de obra se incrementa de 300 a 300
L y el capital se incrementa de 50 a 50 K está dado por
P P(300 L, 50K) P(300, 50)
P L
(300, 50) ⋅ L P K
(300, 50) K
Por la ecuación (6) se sigue que en el máximo P L
(300, 50) 100 y P K
(300, 50)
300. En consecuencia, el incremento en la producción es aproximadamente igual a
P 100 L 300 K (100 L 300 K)
en donde usamos la ecuación (7). Así que un dólar extra disponible para producción
incrementará ésta por una cantidad aproximada 0.1835 unidades. En otras palabras,
representa la productividad marginal del dinero.
EJEMPLO 4 (Decisiones de producción) Una compañía puede destinar su planta
a la elaboración de dos tipos de productos, A y B. Obtiene una utilidad de $4 por
unidad de A y de $6 por unidad de B. Los números de unidades de los dos tipos que
puede producir mediante la planta están restringidos por la ecuación de transformación
del producto, que es
x 2 y 2 2x 4y 4 0
con x y y los números de unidades (en miles) de A y B, respectivamente, producidas
por semana. Halle las cantidades de cada tipo que deben producirse a fin de maximizar
la utilidad.
Solución Deseamos maximizar la utilidad P, que está dada por
P(x, y) 4x 6y
(en miles de dólares por semana). Aquí x y y están sujetas a las restricciones
g(x, y) x 2 y 2 2x 4y 4 0 (8)
756 CAPÍTULO 17 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES