Matemáticas aplicadas

6-2 FUNCIONES EXPONENCIALES
Consideremos cierta ciudad con una población en un momento dado de 1 millón de
habitantes, en la cual el crecimiento de la población es a una tasa del 10% anual.
Después de 1 año, la población habrá crecido a 1.1 millones. Durante el segundo
año, el incremento en la población será del 10% del tamaño al inicio de ese año, esto
es, 10% de 1.1 millones. Por tanto, el tamaño de la población después de 2 años
será
1.1 (0.1)(1.1) (1.1) 2 1.21 millones
Durante el tercer año, el incremento será del 10% de 1.21 millones, lo que da una
población total al término del tercer año igual a
1.21 (0.1)(1.21) (1.1)(1.21) (1.1) 3 1.331 millones
Continuando en esta forma, advertimos que el tamaño de la población después
de n años será igual a (1.1) n millones. Una gráfica de esta función aparece en la figura
1, en la cual los valores de (1.1) n se aprecian como puntos para n 0, 1, 2,..., 10.
2
y
Población
(en millones)
1
0 2 4 6 8 10 x
FIGURA 1
La fórmula (1.1) n puede utilizarse con el propósito de calcular el tamaño de la
población en millones en fracciones de un año así como en valores enteros de n. Por
ejemplo, después de 6 meses (esto es, la mitad de un año), el tamaño de la población
es (1.1) 1/2 1.049 millones (con tres cifras decimales). Después de 2 años y 3
meses (2 1 4 años), el tamaño de la población es (1.1)9/4 1.239 millones, etcétera.
Si todos estos valores de (1.1) n para valores fraccionarios de n se dibujan en
la gráfica de la figura 1, se descubre que están situados sobre una curva suave. Esta
curva aparece en la figura 1, pasando, por supuesto, por los puntos remarcados,
puesto que estos puntos corresponden a los valores de (1.1) n para valores enteros
de n.
Observemos que el valor de (1.1) n sólo pueden definirse por medios elementales
cuando n es un número racional. Por ejemplo, cuando n 9 4 , (1.1) n (1.1) 9/4
puede definirse como la raíz cuarta de 1.1 elevado a la novena potencia. De manera
similar, (1.1) 7/5 puede definirse como la raíz quinta de 1.1 elevado a la séptima potencia.
Pero tal definición, en términos de potencias y raíces, no puede aplicarse a
(1.1) n y cuando n es un número irracional: por ejemplo, (1.1) 2 no puede definirse
en términos de potencias y raíces. Sin embargo, una vez que hemos construido la
curva suave de la figura anterior, podemos usarla para definir (1.1) n en el caso de valores
irracionales de n. Por ejemplo, determinaríamos (1.1) 2 usando la ordenada
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