Matemáticas aplicadas

por encima de 10°C y x es la cantidad de fertilizante utilizado
por unidad de área. El costo del fertilizante es de 50x
por unidad de área y el costo de la calefacción es igual a
T 2 por unidad de área. Determine los valores de x y T que
maximizan la utilidad de la plantación. Calcule la utilidad
máxima por unidad de área.
*36. (Agricultura) El número promedio de manzanas producidas
por árbol en un huerto en que hay n árboles por acre
está dado por (A n x) en donde A, y son
constantes y x es la cantidad de fertilizante utilizado por
acre. El valor de cada manzana es V y el costo por unidad
de fertilizantes es F. Determine los valores de x y n que
producen la utilidad (esto es, el valor del cultivo de manzanas
menos el costo del fertilizante) máxima.
*37. (Existencias óptimas de peces) En un lago se poblará con
dos especies de peces. Cuando hay x peces de la primera
especie y y peces de la segunda especie en el lago, los pesos
promedio de las dos especies al fin de la estación son
de (3 x y) libras y (4 x 2y) libras, respectivamente.
Encuentre los valores de x y y que hacen que el
peso total de los peces sea máximo.
*38. (Existencias óptimas de peces) Repita el ejercicio 37 en el
caso de que los pesos promedios de las dos especies de peces
sean (5 2x y) y (3 2x y) libras, respectivamente.
39. (Diseño de un tanque de agua) Un tanque ha de construirse
con ancho x, longitud y y profundidad z, y lo bastante
grande para albergar 256 pies cúbicos de líquido. Si no tendrá
tapa, ¿qué dimensiones minimizarían el área total de
los restantes cinco lados del tanque (y por consiguiente la
cantidad de material utilizada en su construcción)
40. (Medicina) La reacción a una inyección de x unidades de
cierta medicina medida t horas después de la inyección esta
dada por y x 2 (a x)te t . Calcule y/x y y/t y encuentre
los valores de x y t donde la reacción es máxima.
41. (Medicina) Si en el ejercicio 40 la reacción a la medicina
está dada por la fórmula y x(a x)t 1/2 e xt , calcule:
a) El valor de t en el cual y es máxima, para x fija.
b) ¿Cuáles valores de x y t juntos hacen a y máxima
42. (Medicina) En el tratamiento de cierta enfermedad se usan
simultáneamente dos medicamentos. La reacción R medida
en unidades adecuadas para x unidades de la primera
droga y y unidades de la segunda es
R x 2 y 2 (a 2x y)
Encuentre los valores de x y y que hacen a R máxima.
17-5 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE (SECCIÓN OPCIONAL)
Algunas veces afrontamos el problema de minimizar o maximizar cierta función sujeta
a alguna restricción de las variables que intervienen. Consideremos el siguiente
ejemplo.
EJEMPLO 1 Una empresa desea construir un tanque rectangular con capacidad de
1500 pies cúbicos de agua. La base y las paredes verticales deberán ser de concreto
y la tapa de acero. Si el costo del acero es el doble por unidad de área que el del
concreto, determine las dimensiones del tanque que minimizan el costo total de
construcción.
Solución Sean x, y y z (en pies) la longitud, el ancho y la altura del tanque rectangular,
respectivamente. (Véase la figura 15). Entonces,
z
y
x
FIGURA 15
y también
Área de la base Área de la tapa xy
Área de las cuatro paredes 2xz 2yz
SECCIÓN 17-5 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE (SECCIÓN OPCIONAL) 751