Matemáticas aplicadas

3q 600. Como una función de la cantidad q demandada
en el mercado, el ingreso semanal total está dado por R
30q 0.15q 2 . ¿En qué forma depende R del precio p
39. (Reacción química) La velocidad a la cual un químico se
produce en cierta reacción depende de la temperatura T de
acuerdo con la fórmula R T 5 3T. Si T varía con el
tiempo de acuerdo a T 3(t 1), exprese R como una
función de t y evalúe R cuando t 2.
40. (Física) La velocidad de una cuerpo que cae varía con la
distancia recorrida de acuerdo con la fórmula v 8y (v
velocidad en pies por segundo, y distancia en pies).
La distancia que cae varía con el tiempo t (en segundos) de
acuerdo con la fórmula y 16t 2 . Exprese v como una función
de t.
41. Si f(x) ax 4 y g(x) bx 3, determine la condición
sobre a y b tal que (f ° g)(x) (g ° f)(x) para toda x.
42. Si f (x) x a y g(t) t b, demuestre que ( f ° g)(x)
(g ° f )(x).
43. (Construcción de viviendas) El número de viviendas construidas
por año, N, depende de la tasa de interés hipotecaria
r de acuerdo con la fórmula
N (r)
50
100 r
2
donde N está en millones. La tasa de interés actualmente
está en 12% y se predice que disminuirá a 8% en los siguientes
2 años de acuerdo con la fórmula
8t
r(t) 12
t 24
donde t es el tiempo medido en meses, a partir de ahora.
Exprese N como una función del tiempo t. Calcule el valor
de N cuando t 6.
5-5 RELACIONES IMPLÍCITAS Y FUNCIONES INVERSAS
Cuando y es una función conocida de x, esto es, y f (x), a menudo decimos que y
es una función explícita de la variable independiente x. Ejemplos de funciones explícitas
son y 3x 2 7x 5 y y 5x 1/(x 1).
Algunas veces el hecho de que y sea una función de x se expresa indirectamente
por medio de alguna ecuación del tipo F(x, y) 0, en la cual tanto x como y
aparecen como argumentos de la función F del lado izquierdo. Una ecuación de este
tipo se denomina una relación implícita entre x y y.
EJEMPLO 1 Consideremos xy 3y 7 0. En esta ecuación, tenemos una función
en el lado izquierdo que incluye tanto a x como a y y la ecuación da una relación
implícita entre x y y. En este caso podemos despejar y.
y(x 3) 7
7
y
x 3
Por lo que podemos expresar y como una función explícita. En este ejemplo, la relación
implícita dada es equivalente a cierta función explícita. Éste no siempre es el
caso, como los ejemplos siguientes señalan.
EJEMPLO 2 Considere la relación implícita x 2 y 2 4. En este caso, de nuevo
podemos despejar y.
y 2 4 x 2
y 4 x 2 o y 4 x 2
SECCIÓN 5-5 RELACIONES IMPLÍCITAS Y FUNCIONES INVERSAS 209