Matemáticas aplicadas

vertido K en planta y maquinaria. Suponga que P 0.5K 2
K 5, donde K está medido en millones de dólares y P
en dólares por hora de trabajo. Si K es 10 y está creciendo
a razón de 2 por año, ¿con qué rapidez está creciendo P
*56. (Requerimiento laboral) Una compañía observa que cuando
el volumen de su producción semanal es x miles de unidades,
el número de sus empleados es N 500(1 0.01x
0.00005x 2 ). Si la producción semanal crece 5% al año,
¿a qué razón crece el número de empleados cuando se están
produciendo 100,000 unidades semanales ¿O cuando
se producen 200,000 semanales
57. (Reacción química) La razón R en la cual una reacción química
progresa es igual a T, donde T es la temperatura. Si T varía
con el tiempo t de acuerdo con la fórmula T (3t 1)/(t
2), encuentre la razón de cambio de T con respecto a t.
58. (Germinación de semillas) La proporción P de semillas
que germinan depende de la temperatura T del suelo. Supongamos
que bajo ciertas condiciones P T 7 y que T
varía con respecto a la profundidad de x debajo de la superficie
como T (x 2 3)/(x 3). Encuentre la razón de
cambio de P con respecto a la profundidad.
59. (Nuevas viviendas) El número de nuevas viviendas por año
N (millones) depende de la tasa hipotecaria de interés
anual r de acuerdo con la fórmula
50
N(r) 100 r
2
a) Si actualmente r es 10 y se incrementa a una tasa de
0.25 por mes, ¿cuál es la tasa de cambio de N
8t
b) Si r(t) 12 , en donde t es el tiempo en me-
t 24
ses, calcule la tasa de cambio de N en t 6.
12-3 DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
En la figura 1 aparece la gráfica de la función exponencial f(x) a x en el caso típico
en que a 1. Cuando x 0, y a 0 1, de modo que la gráfica pasa por el punto
(0, 1) para cualquier valor de a. La pendiente de la gráfica al cruzar el eje y en este
punto varía, dependiendo de a: cuanto más grande sea el valor de a, mayor será
la pendiente en x 0.
Escojamos el valor particular de a tal que la pendiente de la gráfica en x 0
sea igual a 1. Para este valor de a, la gráfica está inclinada hacia arriba y su pendiente
forma un ángulo de 45° con la horizontal al cruzar el eje y. La condición que debe
satisfacerse es que la derivada f(0) debe ser igual a 1. De esta manera, puesto que
f(x x) f(x)
f(x) lím
x→0 x
y
y f (x) a x
Pendiente f' (0)
(0, 1)
0
x
FIGURA 1
SECCIÓN 12-3 DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 511