Matemáticas aplicadas

EJEMPLO 3 Calcule dy/dx si
y (x 2 1) x3 1
Solución Otra vez, el cálculo se simplifica en forma considerable si aplicamos logaritmos
antes de derivar.
ln y ln [(x 2 1) x3 1 ] x 3 1 ln (x 2 1)
Podemos derivar con respecto a x (mediante la regla del producto en el lado derecho).
d d
(ln y) x 3 1 ln (x 2 1) x 3 d
1 dx ln (x 2 1)
dx dx
☛ 14. Utilice diferenciación
dy
logarítmica para determinar dx
para las funciones siguientes:
a) y x x2
b) y (x 2 1)(x 2 1) x2 1
1 dy 1
(x 3 1) 1/2 (3x 2 ) ln (x 2 1) x 3 1
1
2x
y dx 2
x
2
1
Simplificando y multiplicando por y, obtenemos por último
dy
y
3x
ln (x 2 2xx 1) 3 1
2
☛ 14
dx 2x 3
1
x2 1
Con base en estos ejemplos puede verse que la esencia de este método consiste
en los siguientes pasos:
1. Tome el logaritmo de y y simplifique el lado derecho utilizando propiedades de
logaritmos.
2. Diferencie y resuelva para dy/dx. En el paso 2 obtenemos la expresión
d 1 dy
ln y dx y dx
Ésta se denomina la derivada logarítmica de y con respecto a x.
EJEMPLO 4 Calcule las derivadas logarítmicas de las funciones siguientes:
a) ax n b) u(x)(x)
Solución
a) Si y ax n , entonces yanx n1 . La derivada logarítmica es, en consecuencia,
y
y
anx n1
ax
n
n
x
dy
Respuesta a) yx(2 ln x 1)
dy
b) 2xy[1 ln (x 2 1)]
dx
En el caso especial en que n 1, y ax y la derivada logarítmica es 1/x.
b) Si y u(x)(x), entonces, por la regla del producto,
y u u
dx
SECCIÓN 14-3 DIFERENCIACIÓN LOGARÍTMICA Y ELASTICIDAD 609