Matemáticas aplicadas

en donde hemos multiplicado ambos lados por la diferencial dt y dividido entre A.
El propósito de hacer esto es tener todos los términos con A en un lado y los términos
que incluyen a t en el otro. Integrando ambos lados, obtenemos
En consecuencia,
1
dA r dt
A
ln A rt C 1
(debido a que A 0) en donde C 1
es la constante de integración. Despejando A, obtenemos
A e rt C 1 e C 1 e rt Ce rt (2)
en donde C e C 1 es otra constante. El valor de C puede determinarse aplicando el
hecho adicional de que A(0) A 0
. Por tanto, haciendo t 0 en la ecuación (2),
A 0
A(0) Ce r(0) C
Por consiguiente, a partir de la ecuación (2), obtenemos
A(t) A 0
e rt
En otras palabras, cuando el interés se capitaliza en forma continua la inversión crece
en forma exponencial. El resultado es consistente con el ya encontrado en la sección
6-1.
Podemos resumir el resultado principal del último ejemplo como sigue:
La ecuación diferencial dy/dt ky en donde k es una constante dada, tiene la
solución y Ce kt , en donde C es una constante arbitraria.
Observe la presencia de la constante arbitraria C en la solución. A consecuencia de
esto y Ce kt se denomina solución general de esta ecuación diferencial. La ecuación
diferencial no determina de manera única la solución; la solución general contiene
una constante desconocida.
Para determinar el valor de la constante C necesitamos una información adicional
además de la ecuación diferencial. Por ejemplo, en el ejemplo 4 se nos dio el
valor inicial de la inversión A(0) A 0
. En general (excepto para ciertos casos irregulares),
la solución de cualquier ecuación diferencial de primer orden contiene una
constante arbitraria, y se requiere de una información adicional para determinarla.
Por lo regular, esta información toma la forma del valor de la variable dependiente
dada para un valor particular de la variable independiente, tal como A A 0
en t
0. Este tipo de información se denomina condición inicial.
EJEMPLO 5 (Crecimiento poblacional) Sea P(t) el tamaño (en millones) de
la población de Estados Unidos en el instante t, medido en años, con t 0 co-
692 CAPÍTULO 16 LA INTEGRAL DEFINIDA