Matemáticas aplicadas

Sea p el costo del concreto por pie cuadrado. Se sigue que el costo del acero por pie
cuadrado es de 2p. El costo de construir la base y las cuatro paredes verticales con
concreto a p por unidad de área es
p(xy 2xz 2yz)
El costo de construir la tapa con acero a 2p por unidad de área es 2pxy. El costo total
C es, por tanto,
C p(xy 2xz 2yz) 2pxy p(3xy 2xz 2yz) (1)
El volumen de la caja debe ser de 1500 pies cúbicos. Esto es,
xyz 1500 (2)
Note que hemos de minimizar la función de la ecuación (1) sujeta a la condición de
la ecuación (2). Resolvemos este problema usando la restricción de la ecuación (2)
con el propósito de eliminar una de las variables. A partir de la ecuación (2), z
1500/xy, y sustituyendo esta expresión de z en la ecuación (1), obtenemos
C p 3xy 30 00
30 00
x y
Ahora C es una función de dos variables que son independientes y podemos encontrar
su mínimo en la forma ordinaria. En el caso de un máximo o un mínimo,
C x
p 3y 30 00
x2
0 o bien x 2 y 1000
C y
p 3y 30 00
y2
0 o bien xy 2 1000
Por tanto, se sigue que x 2 y xy 2 . Dividiendo ambos lados entre xy (observe que x
y y no pueden ser cero), obtenemos x y.
Sustituyendo y x en x 2 y 1000, obtenemos x 3 1000 o x 10. En consecuencia,
y x 10.
Es fácil verificar que cuando x y 10, C xx
, C yy
y C xx
C yy
C 2 xy
son positivas.
Por consiguiente, el costo C es mínimo. Cuando x 10 y y 10, la ecuación
(2) implica que z 15. Así, para el costo mínimo, las dimensiones del tanque
deberán ser de 10 pies por 10 pies por 15 pies.
En el ejemplo 1, eliminamos una de las variables (z en este caso) de la función
C valiéndonos de la ecuación restrictiva y, luego, encontramos los puntos críticos
de C. Algunas veces ocurre que no podemos resolver la ecuación restrictiva
para alguna de las variables, de modo que ninguna de ellas puede eliminarse. Por
ejemplo, si la ecuación restrictiva fuese x 5 5x 3 y 3 z 3 z 5 2y 5 16 0, no
podemos resolver para x y y o z en términos de las otras variables. Por otro lado,
aunque fuera posible eliminar una variable empleando la ecuación restrictiva, puede
suceder que la función resultante que debe optimizarse sea muy complicada de
manejar.
752 CAPÍTULO 17 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES