Matemáticas aplicadas

espectivamente, en donde el tiempo t se mide en años y R
y C se miden en millones de dólares. ¿Cuánto deberá prolongarse
la perforación para obtener la utilidad máxima
¿Cuál es esta utilidad máxima
8. (Maximización de la utilidad) Las tasas de ingreso y de
costo de cierta operación minera están dadas por
R ′(t) 10 2t 1/3 y C ′(t) 2 2t 1/3
respectivamente, en donde t se mide en años y R y C se miden
en millones de dólares. Determine por cuánto tiempo
deberá continuarse la operación con la finalidad de obtener
una utilidad máxima. ¿Cuál es el monto de la utilidad máxima,
suponiendo que los costos fijos de operación inicial
son de $3 millones
(9-14) (Superávit del consumidor y del productor) Determine
el superávit del consumidor y del productor en el caso de un
producto cuyas funciones de demanda y de oferta aparecen enseguida.
(Suponga que se ha establecido el equilibrio del mercado).
9. D: p 15 2x 10. D: p 17 0.5x
S: p 3 x S: p 5 0.3x
11. D: p 1200 1.5x 2 12. D: p 120 x 2
S: p 200 x 2 S: p 32 3x
280
370
13. D: p 14. D: p
x 2
x 6
S: p 20 2.5x S: p 3.8 0.2x
15. (Decisión de inversión) Una compañía puede reducir sus
gastos laborales automatizando su planta. Sin embargo, la
automatización de la planta requiere mantenimiento sustancial
extra, el cual se incrementa con el tiempo. El ahorro
neto anual después de t años está dado por S ′(t)
120 4t (1/2)t 2 (millones de dólares por año). Calcule
el ahorro total sobre los 8 primeros años. ¿Cuántos años
debe conservarse el equipo automatizado antes de que los
ahorros totales empiecen a decrecer ¿Cuál es el valor máximo
de los ahorros totales
16. (Decisión de inversión) Una compañía está considerando
la compra de una nueva maquinaria con un costo de $5000.
Se estima que la máquina ahorrará dinero a la compañía a
una tasa de 160(5 t) dólares anuales en un tiempo t después
de la adquisición. ¿Se pagará la máquina a sí misma
durante los próximos 5 años
17. (Decisión de inversión) Para tomar la decisión correcta en
el ejercicio anterior, la compañía debe calcular el valor presente
de sus ahorros futuros y compararlos con el costo de
la máquina. Calcule el valor presente de los ahorros en los
primeros 5 años después de la adquisición de la máquina,
suponiendo una tasa de interés nominal del 8%. ¿Se pagará
la máquina a sí misma ahora en este periodo de 5 años
18. (Maximización de utilidad) En una operación de extracción
de petróleo las tasas de ingresos y costos son
R ′(t) 20 t, C ′(t) 4
donde t está en años, R y C en millones de dólares. Encuentre
el número de años que tiene que funcionar la operación
para asegurar una utilidad total máxima. Calcule el valor
presente de la utilidad total suponiendo una tasa nominal
de descuento de 10%.
19. (Maximización de utilidad) Repita el ejercicio anterior si
R ′(t) 50 2t,
C ′(t) 20 t
y la tasa de descuento nominal es 12.5%
20. (Estrategia de desarrollo) Una compañía minera puede
escoger entre dos estrategias para explotar sus recursos. La
primera implica un costo inicial de $25 millones y producirá
una utilidad neta de $10 millones anuales durante los
próximos 20 años. La segunda representa un costo inicial
de $60 millones y producirá una utilidad neta de $20 millones
anuales por un periodo de 10 años. Calcule el valor
presente de estas dos estrategias suponiendo una tasa de
descuento nominal de 10%. ¿Cuál es la mejor estrategia
21. (Estrategia de desarrollo) Repita el ejercicio 20 cuando la
tasa de utilidad para la primera estrategia es P ′(t) (20
t) millones de dólares y la tasa de utilidad para la segunda
es de P ′(t) (40 4t) millones de dólares. Suponga los
mismos costos y tasa de descuentos iniciales.
22. (Ahorro de maquinaria y costos) Una compañía adquirió
una máquina nueva a un costo de $19,000. Estiman que
esta máquina ahorrará dinero a la compañía a razón de
1000(5 t) dólares por año en un tiempo de t años después
de su adquisición. Sin embargo, el costo de operación de la
máquina en ese tiempo será (1500 135t 2 ) dólares anuales.
Calcule el ahorro neto total de la compañía durante los
primeros t años. Pruebe que después de 5 años estos ahorros
netos han sobrepasado el precio de adquisición. Determine
el número de años que la compañía deberá quedarse
con la máquina y el ahorro neto total durante ese tiempo.
23. (Crecimiento del capital) Si A(t) es el capital de una empresa
en el instante t e I(t) es la tasa de inversión, se sigue
que dA/dt I. Determine el incremento en el capital entre
t 4 y t 9 si la tasa de interés está dada por I(t) 4
t (en miles de dólares por año).
(24-26) (Crecimiento de capital) Durante el periodo 0 t
T, un capital es invertido continuamente en una empresa a
una tasa I(t). Si la inversión crece continuamente a una ta-
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