Matemáticas aplicadas

Resolviendo estas dos ecuaciones, obtenemos p 1
110 y p 2
125. También
2 P/p 2 1 6, 2 P/p 2 2 10 y 2 P/p 1
p 2
6. Por consiguiente,
2 P
p
2
1
2 P
p
2
2
2 P
p1 p 2
⋅
2
(6)(10) 62 0
Puesto que 0 y 2 P/p 2 1 , 2 P/p 2 2 son negativas, los precios p 1 110¢ y p 2
125¢ le producirán una utilidad máxima a la compañía. Con estos valores de p 1
y p 2
,
las demandas son de x 1
45 y x 2
25 (en miles por semana).
También surgen problemas en los cuales necesitamos encontrar los valores
máximos y mínimos de una función f(x 1
, x 2
, … , x n
) de varias variables. De nuevo,
resolvemos tales problemas haciendo todas las derivadas parciales iguales a cero:
f
x1
f f
0
x2
xn
Esto nos da n ecuaciones que deben resolverse para las variables x 1
,..., x n
. El punto
resultante es un punto crítico de f.
El criterio que debe aplicarse con la finalidad de probar si el punto crítico es
un máximo, o mínimo local o un punto silla, es más complicado que el dado para
funciones de dos variables y no lo estudiaremos aquí.*
EJERCICIOS 17-4
(1-22) Halle los puntos críticos de las siguientes funciones y
pruebe si cada uno de ellos es un máximo o mínimo local.
1. f(x, y) x 2 y 2 2x 4y 7
2. f(x, y) 5 4x 6y x 2 3y 2
3. f(x, y ) 2x 2 3y 2 4x 12y
4. f(x, y) x 2 2y 2 2x 2y 1
5. f(x, y) 2x 2 xy 2y 2
6. f(x, y) x 2 4xy y 2
7. f(x, y) 2xy x 2 3y 2 x 3y
8. f(x, y) x 2 2y 2 xy 3x 5y 4
9. f(x, y) x 3 y 2 3x 4y 7
10. f(x, y) x 3 y 3 12x 3y
11. f(x, y) x 3 3x 2 y y 3 y
12. f(u, ) u 3 3 3u 2 3u 7
13. f(x, y) 2xy(x y) x 2 2x
14. f(x, y) xy(x y) y 2 4y
15. f(x, y) x y 1 x 4 y
16. f(x, y) xy 2 x 4 y
17. f(x, y) (x 2) (y 2) (x y 3)
18. f(x, y) (x 1) (y 2) (x y 2)
19. f(x, y) xy ln x y 2
20. f(x, y) 2x 2 y 2 ln (xy 2 )
*Véase, por ejemplo, A.E. Taylor y W.R. Mann, Advanced Calculus, 2a. ed. (Lexington, Mass.: Xerox
College Publishing), p. 230.
SECCIÓN 17-4 OPTIMIZACIÓN 749