Matemáticas aplicadas

y asimismo
a
b
f(x) dx F(x)
a
b
F(a) F(b)
de modo que
b
a
f(x) dx a
f(x) dx
c) La demostración de esta parte se deja como ejercicio.
b
☛ 7. a) Dado que
2 f(x) dx 3 y 3 f(x) dx 1,
2
2
evalúe 2
f(x) dx
3
d
b) Evalúe d
b
x x
f(t) dt
EJEMPLO 8
a) 2
x 3 e x dx 0
2
b) 2
x 2 dx 3
x 2 dx 2
x 2 dx
0
0
3
0
3
x 2 dx 3
x 2 dx
2
por el teorema 3(c)
por el teorema 3(b)
(De la misma forma, puede verificar esto por medio de la evaluación de las tres integrales).
☛ 7
Concluimos esta sección dando una demostración del teorema fundamental
del cálculo. La demostración que daremos carecerá de rigor, dado que no dimos una
definición matemática propia del área bajo una curva. Sin embargo, la demostración
será convincente, y podemos asegurar a los lectores más escépticos que existe una
demostración rigurosa.
Respuesta a) 2 b) f(x)
DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Empezamos
probando el teorema en el caso particular en que f(x) sea una función creciente
no negativa en a x b, si bien es fácil extender la demostración a todas
las funciones continuas.
Cuando f(x) 0, buscamos una expresión para A, el área total bajo la curva
y f(x). Definamos la función de área A(x), que representa el área bajo la curva
y f(x) desde el valor a hasta el valor x de la abscisa, en donde x es cualquier
número tal que a x b.
A(x) es el área sombreada de la figura 3. Así, A(a) 0, porque es obvio que
el área se reduce a cero cuando x tiende a a. Más aún, A(b) es sin duda el área bajo
la curva entre a y b, esto es, la cantidad A que requerimos es tal que A(b) A.
Si x se cambia a x x (x 0), el área A(x) también se aumenta a A(x) A,
que es el área bajo la curva entre los valores a y x x de la abscisa. (Véase la
figura 4). Es razonable esperar que A sea igual al área que aparece sombreada en
esta figura. (No podemos probar esto en forma estricta aquí, dado que no ofrecimos
una definición rigurosa de área).
El área A es mayor que el área del rectángulo inscrito con altura f(x) y ancho
x; A es menor que el área del rectángulo circunscrito con altura f(x x)
SECCIÓN 16-1 ÁREAS BAJO CURVAS 657