Matemáticas aplicadas

☛ 4. Dibuje curvas de nivel para
los niveles z 0, 1 y 2
para las funciones
a) z x y b) z xy
Respuesta
a)
y
Sea z f(x, y) una función de dos variables. Su dominio D consta del conjunto
de puntos del plano xy en que la función está definida. Para cualquier punto
(x, y) en D, podemos calcular el valor correspondiente de z f(x, y) y graficamos
el punto (x, y, z) en tres dimensiones. Haciendo esto para cada punto (x, y) en D,
obtenemos un conjunto de puntos (x, y, z) que forman una superficie en tres dimensiones.
Existe un punto (x, y, z) sobre esta superficie situado por encima de cada
punto del dominio D (o debajo si z f(x, y) toma valores negativos). Esta superficie
se dice que es la gráfica de la función z f(x, y).
En la práctica, la tarea de bosquejar una superficie en tres dimensiones que sea
la gráfica de una función z f(x, y) de ninguna manera es tan sencilla, como el bosquejo
de la gráfica de una función y f(x) de una sola variable. Cuando afrontamos
este problema, con frecuencia es de utilidad examinar las llamadas secciones
de la gráfica. Que son cortes realizados sobre la gráfica por medio de planos determinados.
Consideremos secciones resultantes de planos horizontales. Un plano horizontal
(paralelo al plano xy) satisface una ecuación del tipo z c, en donde c es una
constante que da la altura del plano por encima del plano xy (o debajo, si c < 0). De
modo que la sección de una gráfica que también es común al plano consta de los
puntos de la gráfica situados a una altura constante por encima (o por debajo) del
plano xy. Tal sección horizontal puede graficarse como una curva en el plano xy y
se denomina línea de contorno o curva de nivel.
Consideremos, por ejemplo, la función z 4 x 2 y 2 . Los puntos sobre
la gráfica de esta función que también están situados sobre el plano horizontal z c
satisfacen
c 2 4 x 2 y 2
z 2
Esto es,
b)
z 2
z 1
z 0
z 1
z 2
z 1
z 0
z 1
z 2
y
z 2
z 1
z 1
z 2
z
z
x 2 y 2 4 c 2
Esta ecuación que relaciona x y y es la ecuación de un círculo en el plano xy centrado
en x y 0 y con radio igual a 4 c 2 .
Por ejemplo, tomemos c 1, de modo que consideremos el corte horizontal
a través de la gráfica por el plano situado una unidad por encima del plano xy. Esta
sección es entonces un círculo en el plano xy con radio 4 1 2 3 y con centro
en el punto (0, 0). De manera similar, si c 1 ,
2
la sección es un círculo de radio
15/2, mientras que si c 3 ,
2
la sección es un círculo de radio 7/2.
Los círculos x 2 y 2 4 c 2 que corresponden a estos tres valores de c, así
como la frontera externa x 2 y 2 4 del dominio, se muestran en la figura 4.
La gráfica de la función z 4 x 2 y 2 en tres dimensiones es un hemisferio
centrado en el origen, con radio igual a 2 unidades. La gráfica se aprecia en la
figura 5, en la cual también se advierten las curvas de nivel correspondientes a z
0, 1 ,1 2 y 3
2
en sus ubicaciones tridimensionales. ☛ 4
Otra forma común de representar a una función z f(x, y) de manera gráfica
es mantener fija a una de las variables independientes, x o y, y graficar a z como
una función de la variable restante. Dando varios valores a la variable fija, se obtienen
una serie de curvas. Por ejemplo, fijando y c, obtenemos z f(x, c), expre-
SECCIÓN 17-1 FUNCIONES Y DOMINIOS 725