Matemáticas aplicadas

z
f(x, y y) f(x, y)
lím
y y→0 y
2z
2z
x y
y x
[ f y
(x, y)]
f(x 0
x, y 0
y)
f(x 0
, y 0
) f x
(x 0
, y 0
) x f y
(x 0
, y 0
) y
Punto crítico cuando f es diferenciable:
f x
(x 0
, y 0
) 0, f y
(x 0
, y 0
) 0
Prueba de la : (x, y) f xx
(x, y) f yy
(x, y) [f xy
(x, y)] 2
Si f xx
0, f yy
0 y 0, el punto crítico es un máximo local
Si f xx
0, f yy
0 y 0, el punto crítico es un mínimo local
Si 0, el punto crítico es un punto silla
Método de mínimos cuadrados: y ax b
a(x 2 1 x2 2 x2 n ) b(x 1 x 2 x n )
(x 1
y 1
x 2
y 2
x n
y n
)
a(x 1
x 2
x n
) nb (y 1
y 2
y n
)
1. Establezca la veracidad o falsedad de cada una de las siguientes
proposiciones. Cada enunciado falso cámbielo
por una proposición verdadera correspondiente.
PROBLEMAS DE REPASO DEL CAPÍTULO 17
m) (10xy 2 ln(y)) 0
n) La recta obtenida por el método de mínimos cuadrados
a) En tres dimensiones, la coordenada y es cero en el eje y.
debe pasar por, al menos, dos de estos puntos.
b) En tres dimensiones, x 0 y y 0 en el plano xy.
o) Si se tienen dos puntos de datos, entonces, la recta obtenida
por el método de mínimos cuadrados pasa por
c) El rango de una función z f(x, y) son lo valores de z
ambos puntos.
para los cuales f es un número real.
d) El dominio de la función f(x, y) x 2 y 2 p) Un punto silla de f(x, y), es un punto crítico tal que (x,
1 es el
y) 0
conjunto de todos los números reales.
e) Las curvas de nivel de la función f(x, y) 2x 2 5y 2 q) Los puntos críticos de la función f(x, y) x 2 y 2 ,sujeta
a los puntos en la elipse x
son elipses.
2 4y 2 4 pueden obtenerse
encontrando los puntos críticos de la función
∂ 2 h(x, y)
f) Si h(x, y) f(x) g(y), entonces 0 ∂x∂y F(x, y, ) x 2 y 2 (x 2 4y 2 4)
∂ 2 h(x, y)
g) Si h(x, y) f(x) g(y), entonces 0
(2-5) Determine el dominio de cada una de las siguientes funciones.
∂2 y
h) Si z g(x, y) y ∂z/∂y 0, entonces, z es independiente
de y y se puede escribir z h(x), una función que só-
2 4y 2 2
2. z x lo depende de x.
x *3. z
2 y
(x 2)2 y 2
i) Si todas las derivadas parciales de f(x, y) existen, entonces,
4. z
ln(x)
∂ 4 f(x, y)
y x
∂x2 ∂y 2 ∂y2 ∂x 2
5. w 1 x 2 y 2 z 2
j) Si f(x, y) es diferenciable en el punto (a, b) y tiene un
(6-9) Evalúe ∂z/∂x, ∂z/∂y, ∂ 2 z/∂x∂y y ∂ 2 z/∂x 2 para las siguientes
mínimo local en este punto, entonces, f x
(a, b) f y
(a,
funciones.
b) 0.
∂ 4 f(x, y)
k) Si (a, b) es un punto crítico de f(x, y) y f xx
, f yy
son positivas
en (a, b), entonces, en (a, b) se alcanza un mínimo
local de f(x, y).
∂
l) (x 3 y 2 ln(y)) 3x 2 y 2
∂x
∂ 2
∂x
2
6. z x 2 y 2
7. z e xy
x 2 y 2
8. z xy
9. ln(x 2 y 4 )
PROBLEMAS DE REPASO DEL CAPÍTULO 17 767