Matemáticas aplicadas

Si f(x) 0 en el intervalo [a, b], entonces podemos interpretar f geométricamente
como sigue. De la definición anterior de f,
b
a
f(x) dx f(b a) (1)
Pero a b f(x) dx representa el área entre el eje x, la curva y f(x), y las rectas
verticales x a, x b. De la ecuación (1), esta área es igual f(b a), la cual es
igual al área de un rectángulo de altura f y ancho b a, como se muestra en la figura
21. Así, f es la altura del rectángulo que contiene la misma área que aquélla
bajo la curva.
y
f
a b x
FIGURA 21
EJEMPLO 1 Encuentre el valor promedio de la función f(x) x 3 en el intervalo
[1, 3], e interprete geométricamente el resultado.
Solución Tenemos
f b
f(x) dx 3
3
1
1
1
x 3 dx
☛ 19. Calcule a) el valor
a
1
x
4
10
b a 3 1
2 4 1
promedio de e x en 1 x 1
b) el valor promedio de x en Un rectángulo de altura 10 y ancho b a 3 1 2 tiene la misma área que la
a x b
región bajo la curva y x 3 entre x 1 y x 3. ☛ 19
EJEMPLO 2 Una dosis de 2 miligramos de cierta droga es inyectada en el torrente
sanguíneo de una persona. La cantidad de droga que queda en la sangre después de
t horas está dada por f(t) 2e 0.32t . Encuentre la cantidad promedio de la droga en
el torrente sanguíneo durante la segunda hora.
Solución Aquí tenemos que encontrar el valor promedio de f(t) en el intervalo desde
t 1 a t 2. Por definición tenemos
1
f b
f(t) dt
b a a
f 2
2
1
2e 0.32t dt 2
1
e
0.32t
2 1
0.32
1
1
Respuesta
f (e 0.64 e 0.32 ) 1.24
a) 1 (e 2 e1 ) b) 1 (a 2 b) 0.16
SECCIÓN 16-4 VALOR PROMEDIO DE UNA FUNCIÓN 681