Matemáticas aplicadas

donde p y q son constantes. A menudo tales expresiones pueden escribirse como el
producto de dos factores (x a) y (x b), siendo a y b dos números reales. Por
ejemplo, puede comprobarse de inmediato que x 2 3x 2 (en la cual p 3 y
q 2) es igual al producto de x 1 y x 2:
x 2 3x 2 (x 1)(x 2)
En este caso, a 1 y b 2
En general, si p y q están dados; deseamos encontrar a y b tales que
Pero vimos en la sección 1-5 que
y, por tanto,
x 2 px q (x a )(x b)
(x a)(x b) x 2 (a b)x ab
x 2 px q x 2 (a b)x ab
Estas dos expresiones son iguales con tal que a b p y ab q. De modo que,
con el propósito de determinar a y b, debemos encontrar dos números cuya suma
sea igual a p y su producto igual a q. En términos de la expresión original x 2 px
q, la suma a b es igual al coeficiente de x y el producto ab es igual al término
constante.
El procedimiento para encontrar a y b consiste en examinar todos los posibles
pares de enteros cuyo producto sea igual a q. Seleccionamos entonces el par (si es
que existe) cuya suma sea el coeficiente de x.
EJEMPLO 5 Factorice x 2 7x 12
Solución Aquí p 7 y q 12. Debemos encontrar dos números a y b tales que
el producto de a y b sea 12 y cuya suma sea 7. Consideremos todas las posibles parejas
que factorizan a 12.
a 1 b 12 a b 13
a 1 b 12 a b 13
a 2 b 6 a b 8
a 2 b 6 a b 8
a 3 b 4 a b 7
a 3 b 4 a b 7
De la lista anterior, advertimos que la elección adecuada es a 3 y b 4. Por tanto,
x 2 7x 12 (x 3)(x 4)
Observación La elección a 4 y b 3 da exactamente la misma pareja de
factores.
EJEMPLO 6 Factorice (a) x 2 5x 6; (b) 3x 2 3x 6
42 CAPÍTULO 1 ÁLGEBRA