Matemáticas aplicadas

CASO DE ESTUDIO
UTILIDADES EN LA PRODUCCIÓN
Con base en la información dada al inicio del capítulo, se sabe
que la función de ingreso marginal es
I′(x) 10e x/50 (50 x)
con las técnicas de integración analizadas en este capítulo se
tiene que
I(x) 500xe x /50 K
donde K es una constante, pero se supone que si se venden 0
productos el ingreso es cero, entonces,
I(0) 500(0)e 0/50 K 0, implica que K 0
Por tanto, la función de ingreso está dada por
I(x) 500xe x/50 (1)
Dado que una forma de escribir el ingreso es I(x) px,
donde p es el precio de cada artículo, a partir de la ecuación (1)
se deduce que la relación de demanda es
p 500e x/50
Lo cual responde la primera interrogante de la licenciada
Adriana. La gráfica de la función anterior es la siguiente,
Precio (Dólares)
500
400
300
200
100
20 40 60 80 100
Portafolios de piel
FIGURA 3
Se puede notar que conforme el precio baja la demanda por
portafolios crece y viceversa.
Para responder la segunda pregunta de la licenciada Adriana,
se observa la gráfica 1, que se reproduce a continuación,
(Dólares)
10,000
8,000
6,000
4,000
2,000
Se supone que la función de costos es lineal. Para obtener
una expresión para la ecuación de una recta, basta con conocer
dos puntos de la misma; en este caso, se tiene que la recta pasa
por (0, 2000) y (100, 10,000). Así que, haciendo uso de lo
que se aprendió en el capítulo 4, se deduce que la ecuación de
la recta que pasa por esos dos puntos, escrita en la forma punto
pendiente es,
C(x) 2000 80x
De la cual se obtiene que los costos fijos son $2000 semanales.
Con esto, se puede escribir la función de utilidad como
es decir,
20 40 60 80 100
Portafolios de piel
U(x) I(x) C(x)
U(x) 500xe x/50 (2000 80x)
Así por ejemplo, la utilidad por la producción y venta de
50 portafolios es
U(50) 500(50)e 50/50 (2000 80(50)) $3,197
Ahora bien, por la gráfica de la utilidad se observa que en
el intervalo de interés se tiene un valor máximo entre 30 y 40.
Si se utilizan las técnicas de los capítulos previos para maximizar,
se deben calcula U′(x),
U′(x) 500e x/50 10xe x/50 80
al igualar a cero se enfrenta a un problema que no es sencillo
resolver, por medio de aproximaciones se obtiene que
648 CAPÍTULO 15 INTEGRACIÓN