Matemáticas aplicadas

7. Determine g (4) (u) si g(u)
d
8. Encuentre 2 y
si y t 2 1
dt
2
d
9. Encuentre 2 u 1
si u dx
2 x2 1
d
10. Encuentre 3 y x
si y 3 1
,(x 1)
dx
3 x 1
11. Encuentre y si y ln x
12. Encuentre y (4) si y x ln x
13. Determine y (4) si y xe x
14. Encuentre y si y e x2
15. Determine y si y ln [(x 1)(x 2)]
16. Encuentre y si y x 3 e 2x
17. Encuentre y si y (x 1)e x
18. Encuentre y si y
x 2 1
e
x
19. Si y ae mx be mx , donde a, b, m son constantes, entonces,
pruebe que d 2 y/dx 2 m 2 y
20. Si y x 1/x entonces pruebe que x 2 yxy 2 0
21. (Velocidad y aceleración) Calcule la velocidad y la aceleración
de un móvil para cada distancia dada s recorrida al
tiempo t.
1
3u 1
a) s 9t 16t 2
b) s 3t 3 7t 2 5t
22. (Velocidad y aceleración) Suponga que la distancia s recorrida
al tiempo t está dada por s t(3 t).
a) ¿En qué instantes es cero la velocidad
b) ¿Cuál es el valor de la aceleración cuando la velocidad
es cero
(23-24) (Tasa de costo marginal) Calcule el costo marginal y la
tasa de cambio del costo marginal con respecto al volumen de
producción en el caso de las siguientes funciones de costo.
23. C(x) 500 30x 0.1x 2 0.002x 3
24. C(x) 500 20x 2x ln x 0.01x 2
25. (Tasa de costo promedio marginal) Si C(x) es la función de
costo promedio, demuestre que
C(x) 2C(x) 2C(x)
C(x) x x
2 x
3
26. (Tasa de ingreso marginal) Si R(x) es la función de ingreso,
pruebe que
R(x) 2p(x) xp(x)
en donde p p(x) es el precio como una función de la demanda.
*27. (Crecimiento de población) Una población crece de acuerdo
con la ecuación logística y y m
/(1 Ce kt ), donde y m
,
C y k son constantes. Calcule la razón con la cual cambia
la razón de crecimiento de la población.
REPASO DEL CAPÍTULO 12
Términos, símbolos y conceptos clave
12.1 Regla del producto. Regla del cociente. Costo marginal
promedio.
12.2 Regla de la cadena. Tasas relacionadas.
12.3 Derivadas de las funciones exponencial y logarítmica.
12.4 Segunda derivada; aceleración. Derivadas tercera, cuarta y
de orden superior.
Fórmulas
Regla del producto:
d d du
(u) u o (u)′ u′ u′
dx dx dx
Regla del cociente:
d
dx
u
x x
o bien, u
1
Ingreso marginal:
Costo marginal promedio:
dC
dx
d u
u d
d d
dR
dx
2
d
dx
(px) p x
dp
dx
u′ u′
2
1 C(x)
[C′(x) C(x)], en donde C(x)
x x
524 CAPÍTULO 12 CÁLCULO DE DERIVADAS