Matemáticas aplicadas

(x
31. f (x) 2 1)(2x 3)
(t 3)(3t
32. g(t)
2 5)
3x 1
2 3t
(2u
33. y 3 7)(3u 2 5)
34. y
u2 1
3t 4
(35-38) Determine la ecuación de la recta tangente a las gráficas
de las siguientes funciones en el punto que se indica.
35. y (3x 2 7)(x 2) en (1, 10)
36. y x 1/x)(x 2 1) en x 1
37. y
2x 3
en (3, 3)
x 2
(t 1/t)(t 2 7t)
x
38. f(x) 2 4
en x 2
x2 1
1
39. Determine los puntos sobre la curva f(x) en x
2
1
donde las rectas tangentes son horizontales.
x 2
40. Determine los puntos sobre la curva y en donde
x2 5
las rectas tangentes son horizontales.
x 3
41. Determine los puntos sobre la curva y en donde
x 3
las rectas tangentes tengan una pendiente de 1 6 .
42. Determine los puntos sobre la curva y (x 1/x)(x 2
6x) en donde las rectas tangentes tengan una pendiente de
8 unidades.
(43-44) (Costo promedio marginal) Encuentre los costos
marginales de las funciones de costo siguientes (a, b y c son
constantes).
43. C(x) a bx 44. C(x) a bx n
45. (Ingreso per cápita) Si el PNB de una nación al tiempo t
es I 10 0.4t 0.01t 2 (en miles de millones de dólares)
y el tamaño de la población (en millones) es P 4
0.1t 0.01t 2 , determine la tasa de cambio del ingreso per
capita.
46. Mediante la regla del cociente demuestre que (d/dx)
(x 7 ) 7x 8 . (Sugerencia: Escriba x 7 1/x 7 ).
*47. Generalice el ejercicio 46 para probar que (d/dx)(x n )
nx n1 cuando n es cualquier entero negativo. (Sugerencia:
Escriba x n 1/x m , en donde m n).
48. (Salario real) El salario real de cierto grupo de trabajadores
aumentó de acuerdo con la fórmula W(t) 3 1 2 t entre
1970 y 1980, donde t es el tiempo transcurrido en años
a partir de 1970. Durante este tiempo, el índice de precios
al consumidor estuvo dado por I(t) 100 3t 1 2 t 2 . El
salario real es igual a 100 W(t)/I(t) cuando se ajusta por la
inflación. Calcule la razón de cambio de este salario real en
1970, 1975 y 1980.
49. (Granja piscícola) El peso de cierto lote de peces está dado
por W nw, donde n es el tamaño del lote y w es el peso
promedio de cada pez. Si n y w cambian con el tiempo de
acuerdo con las fórmulas n (2t 2 3) y w (t 2 t 2),
encuentre la razón de cambio de W con respecto al tiempo.
50. (Física) La temperatura absoluta T de un gas está dada por
T cPV, donde P es la presión, V el volumen y c es alguna
constante que depende de la masa del gas. Si P (t 2 1)
y V (2t t 1 ) como funciones del tiempo t, encuentre la
razón de cambio de T con respecto a t.
51. (Biología) La densidad de algas en un estanque de agua es
igual a n/V, donde n es el número de algas y V es el volumen
de agua en el estanque. Si n y V varían con el tiempo
t de acuerdo con las fórmulas n t y V t 1, calcule
la razón de cambio de la densidad.
52. (Ecología) Sea x el tamaño de cierta población de depredadores
y y el tamaño de la población que le sirve de alimento.
Como funciones del tiempo t, x t 2 4 y y 2t 2
3t. Sea u el número de presas por cada depredador. Encuentre
la razón de cambio de u.
12-2 LA REGLA DE LA CADENA
Sea y f(u) una función de u y u g(x) una función de x. Entonces, podemos escribir
y f[g(x)]
que representa y como una función de x, denominada la función composición de f
y g. Se denota por ( f ° g)(x). (Véase la sección 5-4).
Las derivadas de funciones compuestas pueden calcularse mediante el teorema
siguiente. Se dará una demostración al final de esta sección.
SECCIÓN 12-2 LA REGLA DE LA CADENA 503