Matemáticas aplicadas

☛ 13. Dada f(x, y) x 2 y 3 aproxime
f(3 h, 2 k) por medio
de una expresión lineal en h y k.
x 0
x cuando f(x 0
) se conoce, con tal de que x sea lo bastante pequeño. La aproximación
está dada por
f(x 0
x) f(x 0
) f(x 0
) x
Esta fórmula de aproximación se extiende en forma natural a funciones de varias
variables.
Sea z f(x, y) una función de dos variables que es diferenciable. Entonces,
con tal de que x y y sean suficientemente pequeños,
f(x 0
x, y 0
y) f(x 0
, y 0
) f x
(x 0
, y 0
) x f y
(x 0
, y 0
) y
EJEMPLO 5 Si f(x, y) x y x y, es fácil advertir que f(10, 6) 6.
Encuentre una expresión aproximada para f(10 h, 6 k) válida para valores pequeños
de h y k.
Solución Tomando x 0
10 y y 0
6 en la fórmula anterior para la aproximación
tenemos f(10 x,6y) f(10, 6) f x
(10, 6) x fy(10, 6) y. Después de
derivar parcialmente, obtenemos
f x
(x, y) 1 (x 2 y)1/2 1 (x
2
y)1/2
f y
(x, y) 1 (x 2 y)1/2 1 (x
2
y)1/2
En el punto (x 0
, y 0
) (10, 6), estas derivadas parciales toman los valores
Por tanto, como f(10, 6) 6,
f x
(10, 6) 1 2 (10 6)1/2 1 2 (10 6)1/2 3 8
f y
(10, 6) 1 2 (10 6)1/2 1 2 (10 6)1/2 1 8
f(10 x, 6 y) 6 3 8 x 1 8 y
Por último, reemplazando x h y y k obtenemos la aproximación pedida
f(10 h, 6 k) 6 3 h 8 1 k
8
(1)
Por ejemplo, tomando h 0.1 y k 0.2. Obtenemos
f(10.1, 5.8) 6 0.3 0.2
6.0625
8
Comparando, el valor exacto de f(10.1, 5.8) es
10.1 5.8 10.1 5.8 15.9 4.3 6.0611. . . ☛ 13
Respuesta 72 – 48h 108k
La fórmula aproximada de la ecuación (1) es una función lineal de h y k,y en
consecuencia es mucho más fácil de manejar que la expresión completa de f(10
h,6 k). En general, esto ilustra la ventaja de esta técnica de aproximación al reemplazar
una función complicada por una lineal.
742 CAPÍTULO 17 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES