Matemáticas aplicadas

iable de integración. Tal método se conoce como método de sustitución y corresponde
a la regla de la cadena en diferenciación.
Suponga que F es una antiderivada de f, de modo que
f(x) dx F(x) C
En esta ecuación podemos cambiar el nombre de la variable de x a u:
f(u) du F(u) C
Ahora el teorema básico del método de sustitución establece que podemos reemplazar
u por g(x), en donde g es cualquier función diferenciable, no constante, y esta
ecuación permanece siendo verdadera. En este reemplazo, du se trata como una diferencial,
en otras palabras, du g′(x)dx. Así tenemos:
TEOREMA 1 Si f(u) du F(u) C, entonces,
f[g(x)]g′(x) dx F[g(x)] C
para cualquier función diferenciable g que no sea una función constante.
Ilustramos este teorema con algunos ejemplos antes de demostrarlo. Iniciamos
con la fórmula de la potencia
u
u n du n1
C (n 1)
n 1
que corresponde a tomar f(u) u n y F(u) u n1 /(n 1). Entonces, de acuerdo con
el teorema 1, debemos reemplazar el argumento u en estas dos funciones por g(x):
f[g(x)] [g(x)] n y F[g(x)]
[g(x)] n1
n 1
Entonces, en este caso particular el teorema establece que
[g(x)]
[g(x)] n g′(x) dx n1
C (n 1)
n 1
En este resultado, g(x) puede ser cualquier función diferenciable que no sea
constante. Por ejemplo, tomamos g(x) x 2 1 y n 4. Entonces g′(x) 2x y obtenemos
(x 2 1) 4 (x
2x dx
2 1)
41
C
4 1
Después de dividir entre 2, esto se transforma en
(x
(x 2 1) 4 x dx 2 1)
5
C 10
1
630 CAPÍTULO 15 INTEGRACIÓN