Matemáticas aplicadas

DEMOSTRACIÓN
a) En la función y Ax 3 Bx 2 Cx D, hagamos A, B y C iguales a cero.
Entonces y D, una función constante. La expresión general de dy/dx es 3Ax 2
2Bx C (por el ejemplo 4 de la sección 11.3) y es cero cuando A B C 0.
b) Si hacemos A B D 0 y C 1, obtenemos y x y dy/dx 1, como
se requería.
c) y d) se prueban en forma similar.
En términos geométricos, la parte a) del teorema 1 asegura que la pendiente
de la línea y c es cero en todo punto de ella. Es obvio que esto es cierto porque
la gráfica de y c es una línea horizontal, y cualquier línea horizontal tiene pendiente
cero.
d
d
EJEMPLO 1 (6) 0 y d x
d t 3 2 0
Con base en los resultados de las partes a) a d) del teorema 1, podemos observar
cierto patrón en las derivadas de potencias de x, y x n . Tenemos el siguiente
resultado que es válido para cualquier valor real de n.
Si y x n , entonces d y
nx n1
dx
(fórmula de la potencia)
Verbalmente, con la finalidad de encontrar la derivada de cualquier potencia
constante de x, reducimos la potencia de x en 1 y multiplicamos por el exponente
original de x.
Al final de esta sección, probaremos esta fórmula de la derivada de x n en el caso
de que n sea un entero positivo. Sin embargo, es válida para todos los valores reales
de n.
EJEMPLO 2
d
a) (x 7 ) 7x 71 7x 6
d x
d
b) (y 3/2 ) 3
d y
2 y3/21 3 2 y1/2
d
c) d t
1
t
d
(t 1/2 ) 1
d t
2 t1/21 1 2 t3/2
d 1 d
2
d) d u
u
2
(u 2 ) 2u 21 2u 3
d u
u
3
SECCIÓN 11-4 DERIVADAS DE FUNCIONES ELEVADAS A UNA POTENCIA 467