Matemáticas aplicadas

☛ 25. (Más difícil) Utilizando la
definición de f′(0) como un límite,
demuestre que la función f(x)
x⏐x⏐ es diferenciable en x 0
200
y
(200, 90)
6
y
100
(100, 50)
(300, 120)
4
2
0 100
200
300 400 x
4 2 0 2 4
FIGURA 15 FIGURA 16
existe en ese punto.
f(x x) f(x)
f′(x) lím
x→0 x
EJEMPLO 7 Demuestre que la función f(x) ⏐x⏐ no es diferenciable en x 0.
Solución Debemos considerar x 0, de modo que f(x) f(0) 0 y f(x x)
f(0 x) f(x) ⏐x⏐. Así que
Por consiguiente,
y f(x x) f(x) ⏐x⏐ 0 ⏐x⏐
d y
lím
dx
x→0
y
x
⏐x⏐
lím
x→0 x
Pero en el ejemplo 2, analizamos este límite y demostramos que no existe. De
hecho, los límites por la derecha y por la izquierda existen pero son distintos.
Respuesta lím
x→0 f(0 x) f(0)
x
lím
x→0 x⏐x ⏐ 0⏐0⏐
x
lím x⏐ x⏐
x→0 x
lím ⏐x⏐, que existe y es igual
x→0
a cero.
lím
x→0
⏐x⏐
x
1,
lím
x→0
⏐x⏐
x
1
Por tanto, f no es diferenciable en x 0.
La gráfica de y ⏐x⏐ se observa en la figura 16. Si x 0, la gráfica tiene una
pendiente constante de 1; mientras que si x 0 tiene una pendiente constante de l.
Si x 0, no existe pendiente dado que la gráfica presenta un pico en este valor de
x. Ésta es la razón de que ⏐x⏐ no sea diferenciable en x 0. ☛ 25
Una función y f(x) es diferenciable en cierto valor de x si su gráfica es
‘‘suave” en el punto correspondiente (x, y), por lo que entendemos que la gráfica tie-
SECCIÓN 11-6 CONTINUIDAD Y DIFERENCIABILIDAD (SECCIÓN OPCIONAL) 487