Matemáticas aplicadas

tinuos de un intervalo dado. Por ejemplo, si la variable aleatoria X denota la altura
(en pies) de una persona adulta aleatoriamente seleccionada en Nueva York, entonces
X puede tomar cualquier número real situado en el intervalo 3 X 8 (suponiendo
que el adulto más bajo tiene, al menos, una estatura de 3 pies y el más alto
a lo más 8 pies de estatura). En tal caso, la variable aleatoria se conoce como variable
aleatoria continua.
Al manejar una variable aleatoria continua por lo regular nos interesa la probabilidad
de que el valor medido caiga en algún intervalo dado. Por ejemplo, podríamos
necesitar conocer la probabilidad de que un adulto de Nueva York tenga una
estatura entre 6 y 6.5 pies. (Estas preguntas se las formulan los fabricantes de ropa).
En general, si X es una variable aleatoria continua que toma valores en el intervalo
a X b, estaremos interesados en la probabilidad de que el valor medido de X
esté entre c y d, con c d dos números entre a y b. Escribimos esta probabilidad
como P(c X d).
En el caso de la mayoría de las variables aleatorias continuas existe una función
f(x) denominada función de densidad de probabilidad* tal que su probabilidad
está determinada por la siguiente integral definida:
P(c X d) d
f(x) dx (1)
Puesto que la probabilidad de la izquierda debe ser no negativa para todos los valores
de c y d (c d), el integrando no puede ser negativo. Esto es,
c
f(x) 0 (2)
en todos los valores de x en que esté definida.
En vista de la relación entre integrales definidas y áreas bajo curvas, advertimos
que P(c X d), como se da en la ecuación 1, es igual al área bajo la gráfica
y f(x) situada entre las líneas verticales x c y x d. (Véase la figura 24).
Esta asociación de probabilidades con áreas bajo la gráfica de f es la que da a la
función de densidad su utilidad.
y
P (c X d )
y f (x )
a c d b x
FIGURA 24
*Abreviada f.d.p. El estudiante debe tener cuidado pues algunos autores escriben f.d.p. con el significado
‘‘función de distribución de probabilidad’’, que es distinto del que tiene la función densidad de probabilidad.
SECCIÓN 16-8 APLICACIONES A PROBABILIDAD (SECCIÓN OPCIONAL) 705