Matemáticas aplicadas

31. (Modelo de costo de inventarios) Un distribuidor de automóviles
vende 100,000 autos al año y los pide a la fábrica
en lotes de tamaño x. Cuesta $1000 colocar cada pedido y
los costos de almacenaje por automóvil son de $200 al año.
Calcule el tamaño óptimo de cada lote para minimizar la
suma del costo del pedido y el costo de almacenaje.
32. (Modelo de costo de inventarios) Un fabricante requiere N
de ciertas partes por año. Cuesta K dólares colocar cada pedido
de partes nuevas, sin importar el tamaño del pedido y
cuesta I dólares anuales almacenar cada artículo inventariado.
Pruebe que el tamaño de pedido óptimo es igual a
2NK/I. Calcule el costo mínimo total del pedido más el
almacenaje.
33. (Costo de la tierra) Una compañía está buscando un terreno
rectangular en el cual pueda construir un almacén nuevo.
El área del almacén debe ser 6400 metros cuadrados. Debe
tener en un lado del edificio 40 metros de ancho para la zona
de carga y al frente 10 metros de ancho para estacionamiento.
¿Cuál es el área mínima de terreno que la compañía
debe buscar
34. (Máximo ingreso) Un restaurante especializado en carnes
determina que al precio de $5 por platillo de carne tendrán
en promedio 200 clientes por noche, mientras que si lo
vende a $7 el número promedio de clientes bajará a 100.
Determine la relación de demanda suponiendo que es lineal.
Encuentre el precio que maximiza el ingreso.
35. (Utilidad y satisfacción del cliente) Un banco quiere recortar
sus costos laborales reduciendo el número de sus
cajeros, aunque espera una pérdida de negocios debido al
descontento de los clientes por el tiempo de esperar. Supongamos
que el salario de los cajeros es de $80 diarios y
la pérdida de utilidad por tener únicamente n cajeros es
5000/(n 1) dólares diarios. Determine el valor de n que
minimiza la suma de sus pérdidas más el costo del salario.
36. (Máximo volumen) Se corta un cuadrado de tamaño x de
cada esquina de una cartulina rectangular que mide 12
18 pulgadas y las cuatro aristas se doblan para formar una
caja de profundidad x. Encuentre el valor de x que da la caja
de volumen máximo.
*37. (Mínima área) Se corta un cuadrado de tamaño x de cada
esquina de una cartulina cuadrada de tamaño y y, las
cuatro aristas se doblan para formar una caja de profundidad
x. Se requiere que la caja tenga un volumen de 128
centímetros cúbicos. Encuentre los valores de x y y que minimizan
el área de la cartulina original.
38. (Forma óptima de una lata) Se desea fabricar latas cilíndricas
con un volumen V dado. Pruebe que la forma de una
lata que minimiza la cantidad de material utilizado (es decir,
minimiza el área total de los lados, la base y la tapa),
es tal que el radio es igual a dos veces la altura. (¿Por qué
la mayoría de las latas no se hacen así).
39. (Producción máxima de madera) Una compañía forestal
planea desmontar cierta área de pinos después de cierto número
de años. El número promedio de pies que se obtienen
por árbol en un periodo dado de tiempo se sabe que es
igual a 50 0.5x, en donde x es el número de árboles por
acre, con x entre 35 y 80. ¿Qué densidad de árboles debe
conservarse para maximizar la cantidad de madera por
acre
40. (Producción de cultivos) La producción y (en toneladas
por hectárea) de cierto cultivo de trigo está dada por y
a(1 e kx ) b, donde a, b y k son constantes y x es el número
de kilos de fertilizante por hectárea. La utilidad generada
por la venta de trigo está dada por P py c 0
cx en donde p es la utilidad por tonelada, c es el costo por
kilo de fertilizante y c 0
es un costo fijo. Determine cuánto
fertilizante debe usarse para maximizar la utilidad P.
41. (Rendimiento máximo de impuestos sobre las ventas) La
cantidad x de un artículo que puede venderse al mes a un
precio p está dada por x 100(5 p). La cantidad que los
proveedores ofrecerán a un precio p 1
es x 200(p 1
1).
Si existe un impuesto t por cada artículo (de modo que
p 1
p t), determine la cantidad x que se vende al mes si
el mercado está en equilibrio. Encuentre el valor de t que
da el máximo impuesto total por mes al gobierno.
42. (Rendimiento máximo de impuestos sobre las ventas) Repita
el ejercicio 41 si la ecuación de demanda es x
400(15 p) y la ecuación de la oferta es x 400(2p 1
3).
Calcule el rendimiento mensual del impuesto al gobierno.
43. (Costos de construcción) El costo de levantar un edificio
con n pisos a menudo puede suponerse que tiene la forma
a bn cn 2 , en donde a, b y c son constantes. (Aquí a representa
costos fijos como costos del terreno, b representa
un costo que es el mismo para cada piso, tales como paredes
interiores, ventanas, recubrimiento de pisos, y cn 2 representa
costos como elementos estructurales, que se incrementan
con el cuadrado del número de pisos). Calcule el valor
de n que hace que el costo promedio por piso sea un mínimo.
Demuestre que cuando el costo del terreno se incrementa,
este valor óptimo de n crece.
44. (Costos de calefacción) Un individuo está planeando aislar
una casa. Actualmente el costo anual de calefacción es
$3000 pero si se añaden x pulgadas de aislante el costo se
reducirá a 3000e 0.1x dólares. Por cada pulgada de aislante,
el propietario debe pedir $1000 al banco a una tasa de
interés de 10%. ¿Cuántas pulgadas debe añadir para minimizar
el total del costo de calefacción más el interés
45. (Tiempo óptimo de ventas) Un especulador compra un lote
de vino raro cuyo valor aumenta de acuerdo con la fórmula
V(t) S(1 0.2t), donde t es el tiempo medido en años.
Si el vino se vende al cabo de t años, se deben descontar
los réditos para obtener un valor presente de P(t)
SECCIÓN 13-5 APLICACIONES DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS 569