Matemáticas aplicadas

(x 1)(x
EJEMPLO 6 Determine dy/dx si y
3 2x)
x 1
Solución Primero escriba y u/, como un cociente, con u (x 1)(x 3 – 2x) y
x – 1. Entonces, de la regla del cociente,
y′
Inmediatamente tenemos ′ 1, pero para encontrar u′ utilizamos la regla del producto.
Escribimos u u 1
1
en donde u 1
x 1 y 1
x 3 – 2x. Entonces, u′ 1
1 y
′ 1
3x 2 – 2, de modo que
u′ u 1
′ 1
1
u′ 1
(x 1)(3x 2 2) (x 3 2x) 1
4x 3 3x 2 4x 2
Entonces tenemos
(x 1)(4x
y′
3 3x 2 4x 2) (x 1)(x 3 2x) 1
(x 1) 2
Sea C(x) la función de costo de cierto artículo (esto es, C(x) es el costo de fabricar
y vender una cantidad x de los artículos en cuestión). La derivada C(x) da el
costo marginal. La razón C(x)/x es igual al costo total dividido entre la cantidad
producida y de esta manera representa el costo promedio por unidad producida de
estos artículos. La derivada de esta razón con respecto a x se denomina el costo promedio
marginal. Da el incremento en el costo promedio por artículo por cada incremento
de una unidad en la cantidad producida.
Con el objetivo de calcular el costo marginal promedio de la función de costo,
debemos derivar la razón C(x)/x. Para esto, podemos usar la regla del cociente.
d
Costo promedio marginal d x C (x)
x
u′ u′
2
3x 4 2x 3 5x 2 4x 2
(x 1)
2
xC(x) C(x)
x
2
d
d
x C(x) C(x) x
d x
d x
1 x C′(x) C (x)
x
Observe que en esta expresión final los paréntesis cuadrados representan la diferencia
entre el costo marginal, C(x) y el costo promedio, C(x)/x. Por tanto, concluimos
que el costo promedio marginal es igual al costo marginal menos el costo
promedio todo dividido entre la cantidad producida. En particular, el costo promedio
marginal es cero cuando el costo marginal y el costo promedio son iguales.
EJEMPLO 7 (Costo promedio marginal) Calcule el costo promedio marginal para
la función de costo
C(x) 0.001x 3 0.3x 2 40x 1000
cuando x 100.
x
2
500 CAPÍTULO 12 CÁLCULO DE DERIVADAS