Matemáticas aplicadas

14-1 DIFERENCIALES
Sea y f (x) una función diferenciable de la variable independiente x. Hasta ahora,
hemos usado dy/dx para denotar la derivada de y con respecto a x y se manejó dy/dx
como un solo símbolo. Ahora definiremos el nuevo concepto de diferencial de modo
que dx y dy tengan significados separados; esto nos permitirá pensar en dy/dx ya
sea como el símbolo para la derivada de y con respecto a x o como la razón de dy y
dx.
DEFINICIÓN Sea y f (x) una función de x diferenciable. Entonces,
a) dx, la diferencial de la variable independiente x, no es otra cosa que un
incremento arbitrario de x; esto es,
dx x
b) dy, la diferencial de la variable dependiente y, es función de x y dx definida
por
dy f (x) dx
La diferencial dy también se denota por df.
Los enunciados siguientes son evidentes por la definición anterior de diferenciales
dx y dy.
1. Si dx 0 se sigue que dy 0
2. Si dx 0, se deduce que la razón de dy dividida entre dx está dada por
dy
dx
f (x) dx
dx
f (x)
y así es igual a la derivada de y con respecto a x.
No hay nada extraño con respecto al último resultado, porque en forma deliberada
se definió dy como el producto de f (x) y dx con el propósito que el resultado
de la proposición 2 fuera válido.
EJEMPLO 1 Si y x 3 5x 7, determine dy.
☛ 1. Para la función
y 4x – 2x 2 ,
determine dy cuando x 2 y
cuando x 2
Respuesta dy 4dx cuando
x 2; dy 12dx cuando x 2
Solución Sea y f (x) de modo que f (x) x 3 5x 7. Se sigue que f (x)
3x 2 5 y, por definición,
dy f (x) dx (3x 2 5) dx ☛ 1
Debe observarse que dx (o x) es otra variable independiente y el valor de dy depende
de las dos variables independientes x y dx.
Aunque dx x, la diferencial dy de la variable dependiente no es igual al
incremento y. Sin embargo, si dx es suficientemente pequeño dy y y son aproximadamente
iguales una a la otra.
594 CAPÍTULO 14 MÁS SOBRE DERIVADAS