Matemáticas aplicadas

En t 0, el 2% de los agricultores están utilizando la nueva
variedad. Cuatro años más adelante, el 50% lo está haciendo.
Evalúe C y k y calcule cuántos años pasarán antes
de que el 90% hayan cambiado a la nueva variedad.
*53. (Función de Gompertz) Otra función que algunas veces se
utiliza para describir crecimiento restringido de una población
es la función de Gompertz
y pe cekt
en donde p, c y k son constantes. Demuestre que en t 0,
y pe c y que conforme t crece, y se aproxima cada vez
más al valor p.
REPASO DEL CAPÍTULO 6
Términos, símbolos y conceptos importantes
6.1 Interés compuesto, tasa de interés anual.
Tasas nominal y efectiva de interés.
Composición continua; el número e.
Valor presente.
6.2 Función exponencial, base; y a x
Gráficas de crecimiento y funciones de decaimiento
exponencial.
Función exponencial natural, y e x y su gráfica.
6.3 Logaritmo con base a; log a
y
Gráficas de funciones logarítmicas.
Formas equivalentes logarítmicas y exponenciales de una
expresión.
Propiedades de los logaritmos.
Logaritmos naturales: x ln y
Logaritmos comunes: x log y
6.4 Ecuación exponencial.
Fórmulas para cambio de base para exponenciales y
logaritmos.
El modelo logístico.
Fórmulas
Interés compuesto:
Valor después de n periodos P(1 i) n .
Para k composiciones por año a tasa nominal R%,
R
i .
10 0k
Tasas nominal y efectiva: 1 i ef
(1 i) k .
Composición continua; valor después de N años Pe iN ;
1 i ef
e i .
Valor presente; V.P. P(1 i) n
x log a
y si y a x
x ln y si y e x
x log y si y 10 x
Propiedades de los logaritmos (aquí sólo se formulan para logaritmos
naturales):
ln 1 0 ln e 1
ln (u) ln u ln
ln 1 ln
ln u ln u ln
ln (un ) n ln u
e ln y y para toda y 0 ln(e x ) x para toda x.
Fórmulas de cambio de base para exponenciales:
a x e kx , donde k ln a.
Fórmulas de cambio de base para logaritmos:
logb
y
log a
y
l og
a
b
log a
y l n y
ln
a
log
y
log a
y
l og
a
PROBLEMAS DE REPASO DEL CAPÍTULO 6
1. Establezca la veracidad o falsedad de cada una de las siguientes
proposiciones. Cada enunciado falso cámbielo
por una proposición verdadera correspondiente.
a) log a
1 0, para todo número real a
b) e ln (x) x, para todo número real x
c) ln(e x ) x, para todo número real x
d) Puesto que (3)4 81, entonces log 3
81 4
e) log 2
(2 a) log 2
(a) 1
f) La función a x representa crecimiento exponencial si a
1 y decaimiento exponencial si 0 a 1
g) La función e kx representa crecimiento exponencial si k
0 y decaimiento exponencial si k 0
260 CAPÍTULO 6 LOGARITMOS Y EXPONENCIALES