Matemáticas aplicadas

☛ 9. Determine los intervalos en
donde f(x) es positiva y aquellos
en donde es negativa en los
siguientes casos:
a) f(x) x 3
b) f(x) x 4
c) f(x) x 3 3x 2
Ahora consideremos la posibilidad alternativa, esto es, que la gráfica de f(x)
sea cóncava hacia abajo. Los casos que corresponden a los dos tipos ya considerados
se observan en la figura 17. La parte a) ilustra el caso en que f(x) 0 pero la
pendiente se hace menos pronunciada a medida que x aumenta. La parte b) ejemplifica
el caso en donde f(x) 0 y la pendiente se hace cada vez más pronunciada
(más negativa) cuando x aumenta.
En cada caso, f(x) es una función decreciente de x. Por el teorema 2 de la
sección 13-1, f es decreciente si f(x) 0 y ésta es, por lo tanto, una condición
suficiente para que la gráfica de f sea cóncava hacia abajo. ☛ 9
y
y
y f(x)
y f(x)
0 x
0
x
FIGURA 17
EJEMPLO 1 Encuentre los valores de x en los cuales la gráfica de
y 1 6 x4 x 3 2x 2
es cóncava hacia abajo o cóncava hacia arriba.
Solución
y 1 6 x4 x 3 2x 2
y 4 6 x3 3x 2 4x
y 2x 2 6x 4 2(x 2 3x 2) 2(x 1)(x 2)
Debemos determinar los puntos en donde y 0 (cóncava hacia arriba) y y 0
(cóncava hacia abajo). Primero, haciendo y0, obtenemos 2(x – 1)(x – 2) 0 obteniendo
x 1 y x 2. Estos puntos dividen la recta numérica en tres intervalos
(q, 1), (1, 2) y (2, q). En cada uno de estos intervalos y tiene signo constante,
así que elegimos un punto de prueba conveniente y calculamos el signo de y en ese
punto. Esto determina el signo de y en todo el intervalo. Los resultados están en la
tabla 5.
TABLA 5
a) b)
Respuesta a) f″(x) es positiva para
x 0, negativa para x 0
b) positiva para toda x 0
c) Positiva para x 1, negativa
para x 1
Intervalo (q, 1) (1, 2) (2, q)
Punto de prueba 0 3 2 3
y 2 (x – 1)(x – 2) 2(1)(2) 0 2( 1 2 )(1 )
2
0 2(2)(1) 0
Concavidad Hacia arriba Hacia abajo Hacia arriba
SECCIÓN 13-3 LA SEGUNDA DERIVADA Y LA CONCAVIDAD 545