Matemáticas aplicadas

d y
lím y
, d C
lím C dx x
y lím
dx
x→0 x
dq
q→0 q
du u→0 u
Con el propósito de calcular la derivada dy/dx, procedemos de la siguiente
manera:
1. Calculamos y f(x) y y y f(x x).
2. Restamos la primera cantidad de la segunda a fin de obtener y y simplificamos
el resultado.
3. Dividimos y entre x y entonces tomamos el límite de la expresión resultante
cuando x → 0.
El valor de dy/dx depende de la elección de x. Esto se enfatiza cuando utilizamos
la notación f′(x), la cual indica que la derivada f′(x) es una función de x. El valor
de la derivada en un punto particular, digamos x 2, entonces es f′(2). Por
ejemplo, en el ejemplo 1 evaluamos dP/dt en t 5, o de forma equivalente, P′(5).
☛ 12. Determine f′(x) cuando
f(x) = 2 – x 2 . Evalúe f′(3) y f′(2)
Respuesta f′(x) = 2x, f′(3)
6, f′(2) 4
EJEMPLO 2 Determine f′(x) si f(x) 2x 2 3x 1. Evalúe f′(2) y f′(2).
Solución Sea y f(x) 2x 2 3x 1. Entonces,
y y f(x x) 2(x x) 2 3(x x) 1
2[x 2 2x x (x) 2 ] 3x 3x 1
2x 2 4x x 2 (x) 2 3x 3x 1
2x 2 3x 1 x(4x 3 2x)
Restando y de y y, tenemos
y x(4x 3 2x)
y así y/x 4x 3 2x. Por lo que
d y
lím y
lím (4x 3 2x) 4x 3
dx
x→0 x
x→0
Esto es, f′(x) 4x 3
Cuando x 2, f′(2) 4(2) 3 11
cuando x 2, f′(2) 4(2) 3 5
☛ 13. Determine f′(x) cuando
f(x) x 3 . Evalúe f′(2) y f′(2)
Respuesta f′(x) 3x 2 ,
f′(2) 12, f′(2) 12
Observación: Para determinar f′(c) no debemos encontrar primero f(c) y
luego derivarla: f′(c) (d/dx) f(c). ☛ 12, 13
EJEMPLO 3 Determine f′(x) si f(x) x
Solución Sea y f(x) x. Entonces y y f′(x x) x x, de
modo que
y x x x
Por tanto,
y x x x
x
x
462 CAPÍTULO 11 LA DERIVADA