Matemáticas aplicadas

☛ 11. Dé las coordenadas del
vértice e indique si la parábola
abre hacia arriba o hacia abajo:
a) y 1 2x x 2
b) y (1 x) 2 2
c) y (x 1) 2 2(x 1) 2
fica cuando a 0 ocurre en el origen, mientras que este mismo es el punto más alto
si a 0. Cada una de estas gráficas se llama parábola. El origen (que es el punto
más bajo o más alto en los dos casos) se denomina vértice de la parábola.
La función cuadrática general f (x) ax 2 bx c tiene una gráfica idéntica
en forma y tamaño a la correspondiente a y ax 2 ; la única diferencia es que el vértice
de f (x) ax 2 bx c está trasladado afuera del origen.
TEOREMA 1 La gráfica de la función f (x) ax 2 bx c (a 0) es una parábola
que se abre hacia arriba si a 0 y hacia abajo si a 0. Su vértice (que es el
punto más bajo si a 0 y el punto más alto si a 0) es el punto con coordenadas
b
x y y
2a
4ac b 2
4a
Gráficas características de la función cuadrática y ax 2
muestran en la figura 13.
bx c se
y
y
b
(
,
4ac b 2
2a 4a )
0
a 0
a)
x
b
(
,
4ac b 2
2a 4a )
FIGURA 13
0
a 0
b)
x
Respuesta a) (1, 0), hacia arriba
b) (1, 2), hacia arriba
c) (3, 8), hacia abajo
Notas 1. Si b c 0, la función cuadrática se reduce a f (x) ax 2 . Las coordenadas
del vértice dadas en el teorema 1 se reducen a x y 0, que es consistente
con nuestras afirmaciones anteriores.
2. No tiene caso recordar la fórmula en el teorema 1, para la ordenada del vértice.
Es más fácil sustituir el valor x b/2a en la ecuación de la parábola, y
ax 2 bx c (véase el ejemplo 1).
3. La parábola es simétrica con respecto a la recta vertical que pasa por el vértice.
Esta recta se conoce como eje de la parábola.
4. El teorema 1 es más fácil de demostrar utilizando el método de completar
el cuadrado (véase la sección 2-3). ¿Puede conseguir demostrarlo ☛ 11
EJEMPLO 1 Bosqueje la parábola y 2x 2 4x 7 y encuentre su vértice.
188 CAPÍTULO 5 FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS