Matemáticas aplicadas

Prueba de la segunda derivada
En la sección 13-2, introdujimos la prueba de la primera derivada para distinguir entre
aquellos puntos críticos que son máximos o mínimos locales, o ninguno de éstos.
La segunda derivada proporciona una prueba alterna que puede utilizarse en ciertos
casos. Cuando puede usarse, con frecuencia esta prueba es mucho más sencilla que
la prueba de la primera derivada.
Considere el caso cuando aparece un extremo local en un punto crítico dado
por f(x) 0, esto es, cuando la recta tangente es horizontal en el punto de la gráfica
de f que corresponde al extremo. Entonces, si el punto es un máximo local, la
gráfica es cóncava hacia abajo, y si el punto es un mínimo local, la gráfica es cóncava
hacia arriba. Pero sabemos que siempre que f(x) 0, la gráfica es cóncava
hacia abajo, y siempre que f(x) 0, la gráfica es cóncava hacia arriba. Esto conduce
al siguiente teorema.
TEOREMA 1 (PRUEBA DE LA SEGUNDA DERIVADA) Sea f(x) dos veces diferenciable
en el punto crítico x c. Entonces,
a) x c es un máximo local de f siempre que f(c) 0 y f(x) 0
b) x c es un mínimo local de f siempre que f(c) 0 y f(x) 0
EJEMPLO 5 Determine los valores máximo y mínimo locales de
Solución Sea f(x) x 3 2x 2 – 4x – 8
x 3 2x 2 – 4x – 8
f(x) 3x 2 4x – 4
Para determinar los puntos críticos, hacemos f(x) 0:
3x 2 4x 4 0
(3x 2) (x 2) 0
Esto da x 2 3 o –2. Así, f(x) 6x 4
En x 2 3 , f 2 3 6 2 3 4 8 0
Por tanto, como f(x) es positiva cuando x 2 ,
3
f(x) tiene un mínimo local cuando
x 2 .
3
El valor mínimo local está dado por
f 2 3 2 3 3 2 2 3 2 4 2 3 8 2 2
Cuando x 2, f(2) 6(2) 4 8 0. Por tanto, como f(x) es
negativa cuando x 2, f(x) tiene un máximo local cuando x 2. El valor máximo
local está dado por
f(2) (2) 3 2(2) 2 – 4(2) – 8 0
56
7
SECCIÓN 13-3 LA SEGUNDA DERIVADA Y LA CONCAVIDAD 549