Matemáticas aplicadas

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Símbolo de desigualdades, 92 Sistema(s) consistente, 345 de ecuaciones, 1, 147, 148 asignación de máquinas y, 157 decisiones de adquisición y, 157 ejemplos de, 157 inconsistente, 345 lineales, solución de, por reducción de renglones, 334 ejemplos de la, 335-341 ejercicios de la, 341-342 singulares, 343 ejemplo de, 343-347 ejercicios de, 347-348 Solución de sistemas lineales por reducción de renglones, 334 ejemplos de la, 335-341 ejercicios de la, 341-342 Subconjunto, 95 propio, 95 Sucesión finita e infinita, 266 Suma, 205 de dos cuadrados, 40 de n términos de una PA, 269 Superávit del consumidor y del productor, 675, 676, 677, 678, 679 Sustitución lineal, 633, 634 Sustracción y adición de expresiones, 30 de fracciones, 49 T Tabla(s) de integrales, 636-640 símplex, 399, 418, 422 ejemplos de, 418 ejercicios de, 426 Tamaño(s) del lote económico, 568, 589 de población, 217 promedio de una población, 682 Tangente(s), horizontal, 606 vertical, 606 Tanque(s), construcción de un, 560 diseño de un, 751-752 Tarifas postales, 491 Tasa(s) de cambio de la utilidad, 510 del ingreso, 510 del PNB, 502 promedio, 445-446 de crecimiento, 251 específico, 695-695 de decrecimiento (decaimiento), 251 de desempleo, 636 de impuesto marginal, 480 de incremento del costo, 510 del ingreso, 510 de interés, 493, 689, 697, 720 de sustitución, 145 efectiva, 222, 261 e incrementos, 442-449 marginales, 473 nominal, 220 relacionadas, 508 Televidentes, 449 Televisores, producción de, 672 Temperatura promedio, 682 Tendencia(s) marginal(es) a ahorrar, 480-481 y a consumir, 480 a consumir, 480-481 Teorema(s) fundamental del cálculo, 653 demostración del, 657 que se refieren a límites, 454-456 Teoría de gráficas, 333 aplicación de la, 333 de números, 567, 590 Término(s), 29 constante, 29 en la posición cero, 290 extremo, 536, 745, 746 Tiempo(s) de digestión, 713 de espera, 707, 715, 716 en aeropuertos, 712 en parada de autobús, 712 de venta óptimo, 589 mínimo de reacción, 575 promedio de viaje, 712 Tierra, costo de la, 569 Trinomio, 29 U Uso de energía, 380 Utilidad(es), 70, 83, 110, 748, 756 asignación y, 406 bruta, 563 cambio en las, 660 de fabricantes, 73, 103, 104, 342 del productor, 89 en la producción, 620, 648-649 incremento en las, 660 marginal(es), 478-479, 481-482, 493, 507, 519, 629, 744, 768 máxima, 192, 407, 481, 563-564, 568, 575, 588-589, 748, 749, 750, 772 e impuesto sobre la renta, 564 ÍNDICE 817
maximización de la, con respecto al tiempo, 673, 678, 679 pérdidas y, 170 producción y, 108, 119 promedio, 716 y nivel de producción, 765 y publicidad, 514, 578, 586, 698, 764 V Valor(es), 173 absolutos, 91, 111 crítico, 557 de la variable, 60 límite, 452, 577-578 presente, 227, 230, 286 de anualidades, 280 de un ingreso continuo, 674-675 promedio de una función, 680-683 inversión, 682, 716 Valoración de inventario, 332 Variable(s), 558-559, 720-724 aleatoria, 704, 709 continua, 705 media, 709 valor esperado, 709 argumento, 173 de entrada, 422, 427 de holgura, 418 de integración, 622 de salida, 422, 427, 429 dependiente, 173, 600, 720 estructurales o variables de decisión, 418 independiente, 173, 466, 509, 600-601, 605, 720 Velocidad(es) instantánea, 450-452 promedio, 447-448, 450, 451, 683 y distancia, 628, 647 Venta(s), de automóviles, 73 de gasolina, 442 crecimiento de las, 764 tiempo óptimo de, 569 volumen de, 713, 720, 728, 765 y publicidad, 217, 230, 248, 519, 727, 759, 765 Vértice, 726 Viviendas nuevas, 511 Volumen(es) de ventas, 713, 720, 728 y comisiones, 765 máximo, 569 Z Zoología, 702-703, 737, 769 818 ÍNDICE
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QUINTA EDICIÓN Matemáticas aplica
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ARYA, JAGDISH C. y LARDNER, ROBIN W
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Contenido PREFACIO xi PARTE UNO ÁL
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PARTE DOS MATEMÁTICAS FINITAS 7 PR
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Repaso del capítulo 14 615 Problem
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• Prácticamente todos los ejerci
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CAPÍTULO 1 Álgebra Álgebra y alg
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☛ 1. ¿Qué tipo de número es ca
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La segunda forma de la propiedad di
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☛ 3. ¿Cuáles propiedades de los
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☛ 4. ¿Están definidas las expre
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EJEMPLO 2 a) 3 5 7 9 3 5
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☛ 8. En cada caso, ¿cuál es mí
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Por tanto la expresión dada es igu
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TEOREMA 6 a c b c a b (c 0)
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Esto sugiere que la tabla se comple
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En una expresión, tal como 3c 5 ,
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33. (x 2 y) 3 34. (a b 2 ) 1 49.
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DEFINICIÓN Sea n un enero positivo
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3 9 EJEMPLO 6 Encuentre m tal que
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x3 35. x /7 1/7 y2/ 5 y1/ 5 36.
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Reagrupando los términos, de tal m
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18x 3 15x 2 6x 18x 3 15x 2 6x (3x
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Esta propiedad es útil cuando divi
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☛ 25. Verifique si es correcta la
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☛ 26. Saque todos lo factores com
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EJEMPLO 3 Factorice ax 2 by 2 bx
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Solución a) La factorización de x
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☛ 31. Factorice 24x 4 3x Respues
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Con el propósito de que una expres
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) Multiplicamos por x 2 5: ☛ 34.
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5(x 2 4) (x 1)(x 2 4x 4) 3(x
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EJERCICIOS 1-7 (1-40) En las expres
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REPASO DEL CAPÍTULO 1 Resumen 1.1
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33. 64 f 3 1 41. 10t 2 13tu 3u 2
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CAPÍTULO Ecuaciones de una variabl
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Así, por ejemplo, 5 es una raíz d
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lo cual concuerda con la ecuación
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EJEMPLO 4 Solución Resuelva la ecu
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EJERCICIOS 2-1 (1-10) Compruebe si
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Paso 2 Luego, el segundo entero es
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☛ 8. ¿Cuál es el interés anual
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17. (Inversión) Una persona invirt
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Observemos que el punto crucial del
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☛ 12. Resuelva la ecuación: x 2
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Terminamos esta sección deduciendo
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41. 7x 3(x 2 5) x 3 42. 2x(4x
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a una renta de $180 mensuales. A un
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Solución Al final del primer año,
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c) Determine la altura máxima que
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16. 21x 30 45x 26 17. 32x 8 x *
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CAPÍTULO 3 Desigualdades ¿Comprar
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Por una colección bien definida, e
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☛ 3. ¿Las siguientes proposicion
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Usamos los símbolos q (infinito) y
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EJEMPLO 1 a) 3 x 2x 4 es una desi
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Pero, dado que (a c) (b c) es po
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Solución En este caso, como x apar
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mano de obra. Determine el número
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3/2 0 4 FIGURA 8 quier punto en cad
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Solución El ingreso I (en dólares
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lar de incremento en el precio, las
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establece que la distancia entre x
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Solución Utilizando la proposició
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(37-38) Exprese las siguientes afir
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42. ⏐2x⏐ ⏐x⏐ 12 *43. ⏐x
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CAPÍTULO 4 Líneas rectas El probl
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☛ 1. Grafique los puntos (4, 0),
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y (0, y 2 ) B Q (x 2 , y 2 ) (0, y
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face cuando sustituimos x 1 y y 1.
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TABLA 3 q 0 1 2 3 p 10 7 4 1 Grafic
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Observemos que la elevación es igu
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A través de cualquier punto, hay p
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Enseguida, supóngase que la línea
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☛ 9. Determine la pendiente y la
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Esto se ilustra en la figura 17. De
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Haciendo x 0 en la ecuación (2),
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☛ 14. Una compañía está utiliz
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(20, 25) y (30, 20). La pendiente d
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cienden a 2000 televisores al mes.
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DEFINICIÓN Un sistema de ecuacione
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Solución La primera etapa consiste
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líneas, y de aquí, dan una soluci
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Solución En este sistema, una de l
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Ahora tenemos que resolver dos ecua
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por las ventas, no hay utilidad ni
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elación lineal como una representa
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☛ 25. Si la ley de la demanda es
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EJEMPLO 7 (Subsidio y punto de equi
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(9-14) (Equilibrio del mercado) Det
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6. Pasa por los puntos (0, 0) y (7,
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CASO DE ESTUDIO EL PROBLEMA DE LA S
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5-1 FUNCIONES ☛ 1. ¿Lo siguiente
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Por tanto, g(1) g(h) 6 3h 2 2h
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☛ 4. Grafique las funciones y 4
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les x para los cuales f (x) es un n
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En los ejemplos anteriores, hemos e
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Una función f definida por la rela
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(19-24) Evalúe [ f (x h) f (x)]/
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65. De un hoja rectangular de 20 1
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Solución Comparando la ecuación y
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☛ 14. En el ejemplo 3, exprese la
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) El ingreso I obtenido por vender
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☛ 17. Dibuje las gráficas de f (
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☛ 18. Determine la ecuación del
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Algunas veces sucede que una empres
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Funciones valor absoluto Si x es un
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Solución Para 3 x 0, esto es, pa
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tintas al tiempo t; ahora, el ingre
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) g(4) 4 2. Tenemos (f ° g)(4)
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3q 600. Como una función de la ca
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La ecuación (1) podría pensarse t
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☛ 28. Dada f (x) como sigue, encu
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13. xy 2 (x 2 1)y x 0 14. y 2
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32. (Función de costo) El costo po
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CAPÍTULO 6 Logaritmos y exponencia
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EJEMPLO 1 (Inversiones) Una suma de
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Para la segunda, i 0.0305 y k 4,
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☛ 6. Suponga que $1 se invierte a
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EJEMPLO 8 (Inversión) Una inversi
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EJERCICIOS 6-1 (1-2) Si $2000 se in
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6-2 FUNCIONES EXPONENCIALES Conside
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5 y y = 3 x 1 y = ( ) 3 x 4 3 y =
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☛ 11. Utilizando los valores tabu
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35. Durante el otoño, en promedio
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Al igual que con cualquier función
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Los logaritmos tienen las cuatro pr
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) En la base de la tabla, encontram
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Logaritmos comunes En algún tiempo
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(23-28) Dado que log 5 0.6990 y lo
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Por tanto, log 2.5 0.3979 n (de
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) e (1.609)t ; c) e [ln (1i )]t P
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☛ 29. Exprese lo siguiente en té
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y y m y 0 0 t Por tanto, y se hace
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Tomando logaritmos naturales de amb
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tamaño de la población después d
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h) l n a5 ln a ln a3 2 1 i) log
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Calcule el porcentaje de la muestra
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CAPÍTULO 7 Progresiones y matemát
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El n-ésimo término está dado por
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Si la inversión es a interés simp
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☛ 7. Una PA tiene segundo términ
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* 28. (Descuento simple) La señori
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16 243 a r8 ar3 1 2 r 5 1
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S n a( 1 r n ) 1 r Esto prueba
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☛ 13. El decimal recurrente 0.515
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Planes de ahorro El tipo más simpl
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☛ 15. Utilizando la tabla A.3.4 e
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☛ 18. Utilizando la tabla A.3.4 d
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En consecuencia, la ecuación (1) t
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24. (Plan de ahorro) El señor Lóp
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que describen un proceso que evoluc
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y se satisface la ecuación en dife
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TABLA 4 n 0 1 2 3 4 5 6 7 Año 1991
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☛ 25. Determine la solución para
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Por lo regular, esta ecuación en d
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Ahora, el préstamo inicial (que es
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0.5 y n y n1 y 1 00 n1 1000 1.
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a) Determine la ecuación en difere
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☛ 30. En el ejemplo 1, evalúe a)
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TEOREMA 2 a) n k1 b) n k1 c) n k
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☛ 32. Evalúe a) 20 (j 1) 2 j1
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PROBLEMAS DE REPASO DEL CAPÍTULO 7
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CASO DE ESTUDIO ¿CÓMO SALVAR EL H
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8-1 MATRICES Una empresa produce cu
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Una matriz con el mismo número de
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Respuesta Calculamos la matriz de v
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a) Escriba una matriz que represent
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P Q R A 3 2 4 2 5 1 Producto I P
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En consecuencia, en detalle, ☛ 8.
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Por consiguiente, AI IA A. Advert
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Definimos la matriz A m n cuyos el
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36. Dé un ejemplo de dos matrices
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2y 2. Sumando esto a la primera ec
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☛ 13. Escriba la matriz aumentada
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Usemos ahora el segundo renglón pa
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Para la primera columna aplicamos l
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8-4 SISTEMAS SINGULARES Todos los s
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Al igual que en el ejemplo 1, obtuv
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Solución La matriz aumentada es P
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*32. Daniela es la gerente de una c
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Por tanto, para el segundo año: C(
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9-1 LA INVERSA DE UNA MATRIZ DEFINI
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o bien, Por consiguiente, a 3c b
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☛ 4. Encuentre A 1 , si 5 4 A 4
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☛ 6. Resuelva el ejemplo 6 si 0 1
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Leontief, la economía de Estados U
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☛ 7. ¿Cuáles son las produccion
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☛ 9. Una economía de dos sectore
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9-3 CADENAS DE MARKOV (OPCIONAL) Un
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☛ 10. ¿Las matrices siguientes s
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Hoy Primer día Segundo día Tercer
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EJEMPLO 4 (Predicción del tiempo)
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en lugar de [0.25 0.75]. En otras p
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Estado 1 Estado 2 Estado 1 0.6 0.4
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a 1 b 1 a 1 b 2 a 2 b 1 a 2 b 2
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Solución Desarrollando por el prim
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Una aplicación importante de los d
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Debe señalarse que la regla de Cra
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De manera similar, 11 1 2 3 A 11 (
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a) Determine la matriz insumo-produ
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TABLA 10 Industria Demandas Producc
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44. Tira un par de dados no cargado
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CAPÍTULO 10 Programación lineal C
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La gráfica de la desigualdad Ax B
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90y 30,000 165x 165 30,000 90y x
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☛ 4. ¿Cómo se modifican las des
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nen un costo no mayor de $1.00 y qu
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y 40 5x 3y 105 20 (12, 14) 2x 4y
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☛ 7. Utilice el método gráfico
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te evidente que la línea de utilid
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Consideremos un problema de program
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y 20% de nueces; mientras que la m
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y las ecuaciones lineales y t 1.5
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y 3 2 A x y 2.5 (v 0) B y 1.5 (
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☛ 13. Construya la tabla símplex
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0.3x 0.4y t u w 19.5 0.6x 0
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10-4 MÉTODO SÍMPLEX El procedimie
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Variable de salida u: Mediante un a
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x y t u y 0 1 2 7 1 7 2 x 1 0
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Paso 1 Definimos las variables de h
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EJEMPLO 3 Minimice C 10 x 2y suj
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CASO DE ESTUDIO PRODUCCIÓN ÓPTIMA
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11 CAPÍTULO CAPÍTULO La derivada
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q 1 500(150 p 1 ) 500(150 120)
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☛ 2. Calcule y para valores gener
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s(t) 16t 2 Determine la velocidad
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) t 3 y t 4 años c) t 3 y t 3
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TABLA 1 t s/t 0.5 0.25 0.1 0.01 0.0
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☛ 6. Después del ejemplo 1, eval
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☛ 7. Utilizando los teoremas 1 y
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☛ 9. Evalúe los siguientes lími
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EJERCICIOS 11-2 (1-30) Evalúe los
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La tasa de crecimiento promedio dur
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Deseamos tomar el límite cuando x
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☛ 14. En el ejemplo 4, encuentre
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DEMOSTRACIÓN a) En la función y
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☛ 17. Encuentre d y si dx 2 a)
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Si n es un entero positivo, a n b
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59. (Móvil) La distancia recorrida
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El costo marginal mide la tasa con
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Ingreso y utilidad marginales Ahora
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La utilidad marginal es la derivada
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La razón S/I representa la fracci
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y 2 1 (2, 1) (4, 3) 1 y 0 1 2 3 4 x
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Recordemos la definición de contin
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☛ 25. (Más difícil) Utilizando
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☛ 27. (Más difícil) Demuestre q
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42. (Función de costo de la electr
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29. (p 3 3p)(p 2 1) 30. (p 3 )(
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t E(t) 6000 5 0 , para 1 t 50
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12-1 DERIVADAS DE PRODUCTOS Y COCIE
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☛ 3. Utilice la regla del cocient
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Solución C(x) 0.003x 2 0.6x 40
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(x 31. f (x) 2 1)(2x 3) (t 3)(3
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de la función es la quinta potenci
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Para determinar du/dx escribimos u
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Sustituyendo x 5, el nivel de prod
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vertido K en planta y maquinaria. S
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Pero usando una propiedad básica d
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Por tanto, cuando se gastan $3000 e
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☛ 15. Derive a) y ln [(x 1) 2 ]
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55. y a x 56. y 3 x2 1 57. y log
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mecánica establece que cuando una
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C' (x) 17.5 10 0 50 100 150 x EJEMP
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Regla de cadena: Tasas relacionada
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CASO DE ESTUDIO PROPENSIÓN MARGINA
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CAPÍTULO 13 Optimización y bosque
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y y y f(x) y f(x) y y y y y y 0
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TABLA 1 ☛ 2. ¿Para qué valores
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31. (Análisis del ingreso marginal
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☛ 4. Proporcione los valores de x
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4 5 x3 (x 1) 1/5 [5(x 1) x] 4
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f existe para toda x, así los punt
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x 11. 2 12. x 2/3 x 1/3 33. f(x)
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☛ 9. Determine los intervalos en
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4000 C(x) 1 (150, 3162 ) 2 (100, 28
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Prueba de la segunda derivada En la
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☛ 13. Para cada una de las siguie
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☛ 14. Determine los intervalos en
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En consecuencia, la gráfica es cre
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EJERCICIOS 13-4 (1-12) Bosqueje las
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La solución de problemas de optimi
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Una de las aplicaciones más import
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☛ 19. Determine el valor de x que
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La utilidad máxima es P máx (20
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da vez, los costos de almacenamient
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31. (Modelo de costo de inventarios
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13-6 MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS
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La tapa cuesta (r 2 )(300) dólares
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11. f(x) x ln x; e 1 x e 12. f(
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TABLA 8 x 1 10 100 1000 10,000 f(x
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Solución a) Tenemos que Por la reg
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☛ 28. Para la función 1 y , det
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a cero a través de valores positiv
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EJERCICIOS 13-7 (1-36) Evalúe, si
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Punto de inflexión. Prueba de la s
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Determine la tasa de producción x
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CASO DE ESTUDIO OPTIMIZACIÓN DE CO
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CAPÍTULO 14 Más sobre derivadas C
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EJEMPLO 2 Si y x 3 3x, determine
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☛ 3. Haciendo elecciones apropiad
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☛ 6. Vuelva a resolver el ejemplo
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Al usar esta técnica, derivamos ca
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La ecuación de la línea tangente
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☛ 11. Determine los puntos en la
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35. ln (yz) y z 36. xe y ye x 1
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EJEMPLO 3 Calcule dy/dx si y (x 2
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p x dx pf(p) dp f(p) Antes de
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La idea de elasticidad puede aplica
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e las relaciones de demanda siguien
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para los cuales la demanda es a) el
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Por otro lado, considere los siguie
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15-1 ANTIDERIVADAS ☛ 1. a) ¿Cuá
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Así, si se quiere integrar cualqui
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Precaución Las variables no pueden
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☛ 7. Determine la función de cos
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67. (Costo marginal) La función de
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☛ 8. Establezca los resultados qu
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Se sigue que 2x 3 dx u 1 2 du
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4x 1 18. dx 2x2 x 1 19. xx 2
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☛ 11. Utilice la tabla para encon
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☛ 13. Utilice una sustitución y
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Solución Elijamos f(x) x y g(x)
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☛ 16. Determine x 3 e x2 dx [Sug
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Integración por partes: f(x)g(x)
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2x) 1/2 . Determine la productivida
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U′(34.15) 0 A la izquierda de es
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16-1 ÁREAS BAJO CURVAS En esta sec
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y y f (x ) A 0 a b x FIGURA 1 a x
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☛ 5. La función de ingreso margi
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y asimismo a b f(x) dx F(x) a b
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(1-26) Evalúe las siguientes integ
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F(a), o bien, b a g(x) dx [F(b) F
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☛ 8. Determine el área entre el
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y 0 2 1 1 2 x 2 y x 2 8 4 6 y x
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☛ 12. Haga un bosquejo del área
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13. y e x , y x 2 ; x 0, x 1 14
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L 2 1 x 1 5 1 x 2 x 0 16 1
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Maximización de la utilidad con re
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con este método, el valor presente
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p SC Curva de oferta p 0 SP Curva d
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espectivamente, en donde el tiempo
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Si f(x) 0 en el intervalo [a, b],
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fórmula T(t) 13 3t 1 3 6 t 2
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Es intuitivamente claro que tendrem
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TABLA 2 x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3
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x 0 10 20 30 40 50 60 70 80 b) La r
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DEFINICIÓN Se dice que una funció
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espondiendo a 1900. Suponga que est
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A A(t t) - A(t) rA(t) t en donde
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17. dy/dt 2y 0; y 1 cuando t 1
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podemos utilizar este método en ve
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te restringido, pero se han encontr
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ya que se da p k/m 0.25/m. Separa
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tinuos de un intervalo dado. Por ej
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1 y y f (x) 1 y (2x 3) 4 y f (x
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ya que e d/200 → 0 cuando d → q
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y y f (x ) x FIGURA 28 la curva c
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23. (Distribución uniforme) El pes
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2. Demuestre que ab 1 dt b 1 22.
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CASO DE ESTUDIO UN PROBLEMA DE INVE
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CAPÍTULO 17 Funciones de varias va
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☛ 1. Si f(x, y) ln (x y) x y
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D {(x, y, z)⏐x 2 y 2 9, x z
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☛ 4. Dibuje curvas de nivel para
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☛ 5. Para la función z x 2 - xy
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3. f(x, t) x t 1 x 2 ; (x, t)
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z f(x x, y) f(x, y) lím x x
Page 748 and 749:
No necesitamos aplicar la fórmula
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☛ 8. Calcule z x , z xx y z xxy p
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46. (Microbiología) En el proceso
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las productividades marginales son
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☛ 12. Dos productos A y B tienen
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☛ 14. El ingreso, R, de una compa
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17-4 OPTIMIZACIÓN En el capítulo
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☛ 16. Sea f(x, y) (x y) 2 2(x
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Resolviendo estas dos ecuaciones, o
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por encima de 10°C y x es la canti
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Un método alternativo (que evita t
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Solución a) Aquí la función a ma
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☛ 20. Vuelva a resolver el ejempl
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19. (Inversiones) Una inversión de
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caigan sobre la línea recta, la l
Page 778 and 779:
☛ 21. Determine la ecuación para
Page 780 and 781:
TABLA 6 Precio (p) 2 2.25 2.50 2.75
Page 782 and 783: z f(x, y y) f(x, y) lím y y
Page 784 and 785: la producción de una empresa está
Page 786 and 787: CASO DE ESTUDIO DECISIÓN SOBRE PRO
Page 788 and 789: APÉNDICE I Tabla de derivadas est
Page 790 and 791: x2 1 2 11. dx (ax b) 2 a 3 a
Page 792 and 793: Integrales que contienen x 2 a 2
Page 794 and 795: Integrales diversas 1 1 79. dx
Page 796 and 797: TABLA A.3.1 Logaritmos comunes con
Page 798 and 799: TABLA A.3.2 Logaritmos naturales (c
Page 800 and 801: TABLA A.3.3 Funciones exponenciales
Page 802 and 803: TABLA A.3.4 Tablas de interés comp
Page 804 and 805: TABLA A.3.4 Tablas de interés comp
Page 806 and 807: Soluciones a problemas con número
Page 808 and 809: 51. 125 minutos 23. u 1, v 3, w 5
Page 810 and 811: 7. x 2 9. 1 2 3 x 2 4 11.
Page 812 and 813: f) Falso. Si A es una matriz de n
Page 814 and 815: 27. 3 x2 4 2x3/2 29. 5p 4 6p 2
Page 816 and 817: 0.4 0.2 33. 3 3 4 pulgadas 3 3 4 p
Page 818 and 819: 19. 1 9 x 2 8x 1 21. y′ x
Page 820: i) Falso; si todas las derivadas pa
Page 823 and 824: Bebidas y conducción de automóvil
Page 825 and 826: Determinante(s), 380 definición de
Page 827 and 828: decreciente, 530-534, 541, 551-555
Page 829 and 830: Mano de obra, 743, 769 utilización
Page 831: Programación lineal, 399-440 costo
show all

Matemáticas aplicadas

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