Matemáticas aplicadas

☛ 11. Determine los puntos en
la gráfica de x 2 xy 4y 2 15
en donde la tangente sea
a) horizontal b) vertical.
Poniendo y 2 en (i), encontramos x ±3. Así las rectas tangentes son verticales
en los puntos (3, 2) y (3, 2). ☛ 11
Probablemente no dejó de notar que en el último ejemplo, dx/dy y dy/dx
fueron recíprocos uno del otro. Esta propiedad generalmente es cierta:*
dx
1 dy dy/dx
En otras palabras, la derivada de la inversa de una función f es el recíproco
de la derivada de f. Utilizando esta propiedad, podemos reducir mucho el trabajo de
la parte b) del ejemplo 5, una vez que hemos encontrado dy/dx en la parte a).
Las derivadas de orden superior también pueden calcularse a partir de una
relación implícita. El método consiste en determinar primero la primera derivada de
la manera esbozada anteriormente y después diferenciar la expresión resultante con
respecto a la variable independiente.
EJEMPLO 6 Calcule d 2 y/dx 2 si x 3 y 3 3x 3y
Solución En esta situación, x es la variable independiente, ya que se nos pide calcular
derivadas con respecto a x. De modo que, derivando implícitamente con respecto
a x, obtenemos
3x 2 3y 2 d y dy
3 3 dx
dx
Por tanto,
d y x
2 1
dx
1 y
2
Derivamos de nuevo con respecto a x y usamos la regla del cociente.
d 2 y d x
2 1
dx
2 dx 1 y
2
(1 y2 )(d/dx)(x 2 1) (x 2 1)(d/dx)(1 y 2 )
(1 y 2 ) 2
*Por definición
dx x
lím
y→0
Respuesta a) (1, 2) y (1, 2)
y
lím 1
y→0
y
lím 1 1
x→0
dy
dy y x
x dx
b) (4, 1 ) 2 y (4, 1 ) 2 En el segundo paso utilizamos el teorema de límites 2(b) de la sección 11-2.
SECCIÓN 14-2 DIFERENCIACIÓN IMPLÍCITA 605