Matemáticas aplicadas

☛ 3. Cálcule el área entre el
eje x y
a) la gráfica de y x 2 para
2 x 1
b) la gráfica de y = 16 – x 2
para 0 x 4
2
0
3
3
x 2 dx x 2
3 2 0 8
0 3 3 3 ☛ 3
EJEMPLO 4 Determine el área acotada por la curva y 3x 2 2x 5, el eje x y
las líneas x 1 y x 3.
3
Solución Es claro que f(x) 3x 2 2x 5 es no negativa para valores de x en el
intervalo definido por 1 x 3. Así, el área requerida está dada por la siguiente
integral definida:
Respuesta a) 3 b) 12 3 8
☛ 4. En el ejemplo 4, convénzase
por usted mismo de que f(x) 0
para 1 x 3
3
1
(3x 2 2x 5) dx x 3 x 2 5x
3
1
[3 3 3 2 5(3)] [1 3 1 2 5(1)]
51 7 44 unidades cuadradas ☛ 4
Si C(x) denota el costo total de producir x unidades de cierto artículo, se sigue
que C′(x) representa la función de costo marginal. Ahora, por la definición de integral
definida,
b
a
C′(x)dx C(x)
b
a
C(b) C(a)
Pero C(b) C(a) representa el cambio en el costo total cuando el nivel de producción
se incrementa de a a b unidades. Se sigue que b a
C′(x) también representa ese
mismo cambio en el costo total.
Así que tenemos el siguiente importante resultado: el cambio en los costos de
producción al incrementar el nivel de producción de a a b unidades es igual al área
bajo la gráfica de la función de costo marginal (y C′(x)) entre x a y x b.
De manera similar, si R′(x) es la función de ingreso marginal, entonces, el
cambio en el ingreso cuando el nivel de ventas se incrementa de a a b unidades está
dado por b a R′(x) dx. Una interpretación análoga puede darse a b a
P′(x) dx en donde
P′(x) es la función de utilidad marginal; es el cambio en la utilidad cuando x se
incrementa de a a b.
EJEMPLO 5 La función de costo marginal de una empresa a un nivel de producción
x es
C′(x) 23.5 0.01x
Calcule el incremento en el costo total cuando el nivel de producción se incrementa
de 1000 a 1500 unidades.
Solución El incremento en el costo total está dado por
Respuesta Cada uno de los tres
términos en f(x) es positivo cuando
x 0
1500
1000
C′(x) dx 1500
(23.5 0.01x) dx
1000
654 CAPÍTULO 16 LA INTEGRAL DEFINIDA