Matemáticas aplicadas

La utilidad máxima es
P máx
(20 t) 20 t
4
2 20 4
t 2
1 (20 t)2
8
(Nótese que cualquier impuesto t positivo disminuye las utilidades de la empresa;
mientras que un impuesto negativo t, es decir, un subsidio, incrementa las utilidades).
c) Si T denota el impuesto total obtenido, entonces,
T tx t 5 t
4 5t t 2
4
Deseamos maximizar T. Ahora,
☛ 20. Repita las partes b) y c)
del ejemplo 7, si la función de costo
es C(x) (1 x) 2 y la ecuación
de demanda es p 10 – x.
d T t d2T
5 y 1 dt
2 dt2
2
Para maximizar T debemos tener dT/dt 0 y d 2 T/dt 2 0. dT/dt 0 que da t 10.
Por tanto, una tasa de impuesto de 10 por unidad producirá un impuesto máximo sobre
la renta. ☛ 20
Respuesta b) x 2 1 4 t,
P máx
2(2 1 4 t)2 1
c) t 4, T máx
4
Concluimos esta sección describiendo la aplicación de máximos y mínimos a
un modelo de costo de inventarios. Consideremos un ejemplo particular. Supongamos
que un fabricante produce 50,000 unidades de cierto artículo durante un año.
Puede elegir entre varios programas de producción diferentes. Todas las unidades
requeridas podrían fabricarse al inicio del año en una sola serie de producción. Debido
a las economías de producción masiva, esto minimizaría el costo de producción.
Sin embargo, significaría que grandes cantidades de artículos tendrían que
mantenerse almacenados hasta que tuvieran que venderse, y los costos de almacenamiento
podrían ser altos y aun exceder las ventajas de los bajos costos de producción.
Supongamos que tiene un costo de $400 preparar la planta manufacturera en
cada serie de producción, que cada artículo cuesta $4 fabricarlo y que tiene un costo
de 40¢ por año mantener un artículo almacenado. Supongamos que en cada serie
de producción se produce el mismo número de artículos, y denotemos este número
por x. Supongamos también que después de producir un lote, las x unidades se almacenan
y se venden en una tasa uniforme de modo que las unidades almacenadas
se agotan cuando ya está lista la próxima serie de producción. Así, el número de unidades
almacenadas como una función del tiempo se ilustra en la figura 27. En cada
serie de producción, el número salta de 0 a x, luego decrece progresivamente a una
tasa constante hasta cero. Al alcanzar el cero, el próximo lote se produce y el número
almacenado es de nuevo igual a x.
A partir de la figura 27 es claro que el número promedio de unidades almacenadas
es x/2. Puesto que cuesta $0.40 almacenar cada artículo por año, los costos
de almacenamiento en el año serán de (0.4)(x/2) dólares o x/5 dólares.
Dado que los 50,000 artículos necesarios se producen en lotes de tamaño x,el
número de series de producción por año debe ser 50,000/x. Por consiguiente, el cos-
SECCIÓN 13-5 APLICACIONES DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS 565