Matemáticas aplicadas

☛ 15. En el ejemplo 4, suponga
que, debido al cambio en el
mercado de las viviendas, todos los
departamentos están rentados
cuando la renta es $240, pero aún
quedará vacante un departamento
por cada $5 de aumento en la renta.
¿Entonces cuál es la renta óptima
nas habitaciones quedarán vacías. En promedio, por cada incremento de alquiler de
$5, una habitación quedará vacía sin posibilidad alguna de alquilarse. Determine la
relación funcional entre el ingreso mensual total y el número de habitaciones vacías.
¿Qué alquiler mensual maximizaría el ingreso total ¿Cuál es este ingreso máximo
Solución Sea x el número de unidades vacías. El número de departamentos alquilados
es entonces 60 x y el alquiler mensual por habitación es (200 5x) dólares.
Si I denota el ingreso mensual total (en dólares), se sigue que
I (Renta por unidad)(Número de unidades rentadas)
(200 5x) (60 x)
5x 2 100x 12,000
El ingreso mensual total I es una función cuadrática de x con
a 5, b 100 y c 12,000
La gráfica de R es una parábola que se abre hacia abajo (dado que a 0) y su vértice
es el punto máximo. El vértice está dado por
b 100
x 2a 2(5) 10
I 5(10) 2 100(10) 12,000 12,500
Respuesta R (240 5x)(60 x)
tiene vértice cuando x 6 y la
renta óptima es $270.
En consecuencia, si 10 unidades están desocupadas, los ingresos son máximos. El
alquiler por habitación es entonces de (200 5x) dólares o $250 y el ingreso total
es de $12,500 al mes. ☛ 15
EJERCICIOS 5-2
(1-6) Determine los vértices de las siguientes parábolas.
l. y 2x 2 3 2. y 1 x 2
3. y x 2 2x 2 4. y x 2 3x 3
5. y 2 x 2x 2 6. y 2x x 2
(7-10) Bosqueje las siguientes parábolas y determine sus vértices.
7. y 2x 2 3x 1 8. y 4x x 2
9. y 3 x 3x 2 10. y 4x 2 16x 4
(11-14) Determine el valor mínimo o máximo, según el caso,
de las funciones siguientes.
11. f (x) x 2 3x 12. f (x) 2x 5x 2
13. f (x) 1 x x 2 14. f (x) 3x 2 x 1
15. (Ingreso máximo) El ingreso mensual por concepto de la
venta de x unidades de cierto artículo está dado por R(x)
12x 0.01x 2 dólares. Determine el número de unidades
que deben venderse cada mes con el propósito de maximizar
el ingreso. ¿Cuál es el correspondiente ingreso máximo
16. (Utilidad máxima) La utilidad P(x) obtenida por fabricar y
vender x unidades de cierto producto está dada por
P(x) 60x x 2
Determine el número de unidades que deben producirse y
venderse con el objetivo de maximizar la utilidad. ¿Cuál es
esta utilidad máxima
17. (Ingresos y utilidad máximas) Una empresa tiene costos
fijos mensuales de $2000 y el costo variable por unidad de
su producto es de $25.
a) Determine la función de costo.
192 CAPÍTULO 5 FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS