Matemáticas aplicadas

46. (Microbiología) En el proceso de metabolismo de una bacteria
la razón M, a la cual una sustancia química puede ser
absorbida por la bacteria y distribuirse en todo su volumen,
está dada por M aS/V, donde S es el área superficial, V
es el volumen de la bacteria y a es una constante. Para una
bacteria cilíndrica de radio r y longitud l, V πr 2 l y S
2 πrl 2πr 2 . Calcule M/r y M/l y, por tanto, encontrando
cómo un incremento en el radio y en la longitud
afecta la razón del metabolismo.
47. (Zoología) La razón por la cual el cuerpo de un animal
pierde calor por convección está dada por H a(T
T 0
) 1/3 , donde T y T 0
son las temperaturas del cuerpo del
animal y del aire que lo rodea, es la velocidad del viento
y a es una constante. Calcule H/T, H/T 0
y H/, e
interprete estas cantidades.
48. (Difusión) Si se inyecta una sustancia en una vena, su concentración
en cualquier punto en la vena variará con el
tiempo t y con la distancia x desde el punto de inyección.
Bajo ciertas condiciones, la concentración puede describirse
como una función de la forma
C(x, t)
e x2 /(at)
donde a y c son constantes. Pruebe que C(x, t) satisface la
siguiente ecuación
C
t
c
t
a 4
2C
x2
(Esta ecuación se conoce como la ecuación de difusión).
17-3 APLICACIONES PARA ANÁLISIS EN LA ADMINISTRACIÓN
La derivada ordinaria dy/dx puede considerarse como la tasa de cambio de y con respecto
a x. Esta interpretación a menudo es útil [por ejemplo, el ingreso marginal R(x) representa
la tasa de cambio del ingreso con respecto al volumen de ventas o, aproximadamente,
el cambio en el ingreso por unidad adicional vendida]. Pueden darse interpretaciones
similares en el caso de las derivadas parciales. Por ejemplo, si z f(x, y), entonces,
z/x da la tasa de cambio de z con respecto a x cuando y es constante.
EJEMPLO 1 Se lanza un nuevo producto al mercado. El volumen de ventas x se incrementa
como una función del tiempo t y depende también de la cantidad A gastada en la
campaña publicitaria. Si, con t medido en meses y A en dólares,
x 200(5 e 0.002A )(1 e t )
calcule x/t y x/A. Evalúe estas derivadas cuando t 1 y A 400 e interprétalas.
Solución Tenemos que
x
200(5 e 0.002A )e t ,
t
x
0.4e 0.002A (1 e t )
A
Haciendo t 1 y A 400, obtenemos los valores
x
200(5 e 0.8 )e 1 335,
t
x
0.4e 0.8 (1 e 1 ) 0.11
A
La derivada parcial x/t representa la tasa de incremento en el volumen de ventas con
respecto al tiempo cuando el gasto en publicidad se mantiene fijo. Por ejemplo, cuando
SECCIÓN 17-3 APLICACIONES PARA ANÁLISIS EN LA ADMINISTRACIÓN 737