Matemáticas aplicadas

Por tanto,
log 2.5 0.3979
n (de la tabla A.3.l)
log 1.05 0.0212
☛ 23. En el ejemplo 1, determine
el valor de n utilizando logaritmos
naturales en vez de logaritmos
comunes.
Respuesta
ln
( 2.
5)
0.
9163
n 18.78
l n ( 1.
05)
0 . 04879
18.8
En consecuencia, le lleva 18.8 años a la población alcanzar los 5 millones. Este nivel
se alcanzará durante 1998. ☛ 23
EJEMPLO 2 (Inversiones) La suma de $100 se invierte a un interés compuesto
anual del 6%. ¿Cuánto tardará la inversión en incrementar su valor a $150
Solución A un interés del 6% anual, la inversión crece por un factor de 1.06 cada
año. Por tanto, después de n años, el valor es 100(1.06) n . Igualando esto a 150, obtenemos
la siguiente ecuación con incógnita n:
100(1.06) n 150 o (1.06) n 1.5
Tomamos logaritmos en ambos lados y simplificamos.
☛ 24. En el ejemplo 2, encuentre
el valor de n utilizando logaritmos
naturales en vez de logaritmos comunes.
Respuesta
ln
( 1.
5)
0.
4055
n 6.959
l n ( 1.
06)
0 . 05827
log (1.06) n n log (1.06) log (1.5)
log
( 1.
5)
n 0 . 1761
6.96
l og
( 1.
06)
0.
0253
En consecuencia, le lleva casi 7 años a la inversión incrementar su valor a $150. ☛ 24
Estos dos ejemplos nos han conducido a una ecuación del tipo
a x b
en donde a y b son dos constantes positivas y x es la incógnita. Tal ecuación siempre
puede resolverse tomando logaritmos en ambos lados.
☛ 25. Resuelva para x:
a) 2 x 5 b) 5 x 2(3 x )
Respuesta a) x l og
5
2.322
log
2
log 2
b) x
1.357
log 5 log 3
log (a x ) x log a log b de modo que x l og
b
☛ 25
log
a
En principio, no hay diferencia entre problemas en que intervienen funciones exponenciales
crecientes (a 1) y aquellos con exponenciales decrecientes (a 1). El
siguiente ejemplo trata de una función exponencial que decrece.
EJEMPLO 3 (Bebidas y conducción de automóviles) Poco después de consumir
una dosis sustancial de whisky, el nivel de alcohol en la sangre de una persona sube
a un nivel de 0.3 miligramos por mililitro (mg/ml). De ahí en adelante, este nivel
decrece de acuerdo con la fórmula (0.3)(0.5) t , en donde t es el tiempo medido en
horas a partir del instante en que se alcanza el nivel más alto. ¿Cuánto tendrá que
esperar esa persona para que pueda conducir legalmente su automóvil (En su localidad,
el límite legal es de 0.08 mg/ml de alcohol en la sangre).
SECCIÓN 6-4 APLICACIONES Y PROPIEDADES ADICIONALES DE LOS LOGARITMOS 249