Matemáticas aplicadas

ln p ln (1 p) k(t C)
en donde k y C son constantes. Exprese p como una función
de t y calcule dp/dt. Demuestre que
dp
dt
kp (1 p)
*87. Pruebe que (d/dx)(x n ) nx n1 para cualquier número real
n y x 0. (Sugerencia: Escriba x n e n ln x ).
12-4 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
Si y f(t) es una función del tiempo t, entonces, como hemos visto, la derivada
dy/dt f ′(t) representa la tasa en que y cambia. Por ejemplo, si s f(t) es la distancia
recorrida por un móvil, ds/dt f ′(t) da la tasa de cambio de la distancia o,
en otras palabras, la velocidad instantánea del móvil. Denotaremos esta velocidad
con . Así que también es una función de t, y (por regla) puede derivarse y resultar
así la derivada d/dt.
Al incrementarse la velocidad de un móvil, decimos que se acelera. Por ejemplo,
cuando presionamos el pedal de aceleración de un automóvil, provocamos que
aumente su velocidad, esto es, que vaya más aprisa. Supongamos que en un periodo
de 5 segundos, el automóvil acelera de una velocidad de 20 pies/segundo (que
es alrededor de 14 millas por hora) a 80 pies/segundo (55 millas por hora). El incremento
en la velocidad es 60 pies/segundo y el incremento de tiempo t
5 segundos, de modo que la aceleración promedio está dada por
6 0
12 pies/segundo/segundo (o pies/segundo 2 )
t
5
Para un objeto en movimiento, a menudo nos interesa la aceleración instantánea,
que se define como el límite de la aceleración promedio /t cuando t →
0. En otras palabras, la aceleración instantánea es la derivada d/dt. Nos da la tasa
instantánea en que la velocidad está cambiando.
Así que, con la finalidad calcular la aceleración, debemos derivar s y luego derivar
el resultado una vez más. Tenemos que
Aceleración d d
dt
d t d s
dt
La aceleración se denomina la segunda derivada de s con respecto a t y por lo
regular se denota con f (t) o por d 2 s/dt 2 .
En problemas en que intervienen objetos móviles, la segunda derivada, la aceleración,
es una cantidad de mucha importancia. Por ejemplo, el grado de seguridad
del sistema de frenos de un automóvil depende de la desaceleración que pueda lograr
(la desaceleración no es otra cosa que una aceleración negativa). O los efectos
fisiológicos del lanzamiento de un cohete en un astronauta dependen del nivel de
aceleración a que esté sujeto. De mayor importancia, una de las leyes básicas de la
520 CAPÍTULO 12 CÁLCULO DE DERIVADAS