Matemáticas aplicadas

y se satisface la ecuación en diferencias. (La razón para restringir de que c sea positiva
es simplemente que si c es cero o un entero negativo, el denominador en uno
de los términos de la sucesión se vuelve cero).
Observe que en el ejemplo 3 tenemos una ecuación en diferencias de primer
orden y una solución que incluye una constante arbitraria, c. Ésta es una característica
general a la cual regresaremos más adelante.
Solución por medio de iteración numérica
En los dos últimos ejemplos, la solución de la ecuación en diferencias ha sido dada
como una fórmula algebraica para el n-ésimo término de la sucesión. Por lo común
es muy deseable tener tal fórmula, y posteriormente se establecerán varias de tales
fórmulas solución. Sin embargo, existen muchos casos en los que no puede encontrarse
una fórmula para la solución de una ecuación en diferencias dada, y en tales
casos debemos conformarnos con una tabla de valores de un número suficiente de
términos en la sucesión solución. La construcción de tal tabla será ilustrada por medio
de los siguientes ejemplos.
EJEMPLO 4 Una cantidad de $1000 se invirtió a una tasa de interés de 12% compuesto
anualmente. Sea A 0
1000 la cantidad inicial y sea A n
el valor de la inversión
después de n años. Escriba la ecuación en diferencias que satisface esta sucesión de
valores y construya los términos hasta incluir A 8
.
Solución Esto es similar al problema estudiado al inicio de esta sección. Aquí
R 12 y k 1, de modo que 1 i 1.12. La sucesión satisface la ecuación en
diferencias A n
1.12 A n1
. Como conocemos el término inicial, es decir
A 0
1000, podemos construir tantos términos de la sucesión como queramos, simplemente
utilizamos repetidamente la ecuación en diferencias para n 1, 2, 3, etc.
Obtenemos,
TABLA 3
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
A n
1000.00
1254.40
1404.93
1573.52
1762.34
1973.82
2210.68
2475.96
2773.08
n 1: A 1
1.12A 0
1.12(1000) 1120
n 2: A 2
1.12A 1
1.12(1120) 1254.4
n 3: A 3
1.12A 2
1.12(1254.4) 1404.928
y así sucesivamente. Continuando con este proceso, obtenemos los términos hasta
A 8
en la tabla 3. (Los valores se han redondeado a dos decimales).
Observación En este ejemplo, la solución también puede expresarse por medio
de una fórmula algebraica. Porque, utilizando la ecuación en diferencias con valores
sucesivos de n,
A 1
1.12A 0
A 2
1.12A 1
1.12(1.12A 0
) (1.12) 2 A 0
A 3
1.12A 2
1.12[(1.12) 2 A 0
] (1.12) 3 A 0
SECCIÓN 7-4 ECUACIONES EN DIFERENCIAS 293